Logika i skupovi

Iskazne formule

Ispitaj da li je formula $(\neg r\Rightarrow (p\vee q))\Leftrightarrow (p\vee q\vee r)$ tautologija.
Odredi sve vrednosti promenljive $x$ iz skupa $\left \{ 1,2,3,4,5 \right \}$ tako da formula:
a) $x\leq 4\Rightarrow x\neq 3$ ;
b) $x>1\wedge x\neq 4$ ;
c) $x\leq 3\Leftrightarrow x>2$
bude tačna.
Ispitaj da li je formula $(p\Leftrightarrow (q\vee r))\Rightarrow ((p\wedge r)\Leftrightarrow (q\wedge r))$ tautologija.
Dati su iskazi:
$p\equiv -\frac{1}{4}+\frac{3}{2}>-\frac{2}{3}\cdot 6$ ,
$q\equiv -0,2-4:5>-3,2+1$ ,
$r\equiv -\frac{1}{4}:0,25<-3,2:0,08$
Odredi istinitosnu vrednost iskaza $p\Rightarrow q\vee r$ i $\neg p \Leftrightarrow q\wedge r$ .
Za date iskaze
$p\equiv -\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left ( -\frac{2}{3}:\frac{1}{6} \right )>-1\frac{1}{2}:0,5$ ,
$q\equiv 1\frac{5}{12}:\left ( -\frac{3}{14} \right )>-1\frac{1}{2}+\frac{3}{4}$ ,
$r\equiv -0,8-0,02\cdot 5\geqslant -0,3:2$ ,
odredi istinitosne vrednosti formula:
$(p\vee q)\Rightarrow \neg r$ i $p\Leftrightarrow q\wedge r$ .
Za date iskaze:
$p\equiv \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\leqslant 1-\frac{7}{8}$
$q\equiv 2,55:1,55\leqslant 1,5-2,25$
$r\equiv 8\cdot (-7)+9,5\cdot 3,4\leqslant 12\cdot 10$
odredi istinitosnu vrednost formule $(p\Rightarrow q)\wedge (\neg p \Leftrightarrow r )$ .
Ispitaj da li je data iskazna formula tautologija: $(\neg p \Rightarrow q)\Leftrightarrow ( p \vee q )$ .
Odredi istinitosnu vrednost iskaza p i q a zatim odredi istinitosnu vrednost formule F.
$\tau ((\perp \wedge (p\vee q))\Leftrightarrow p)=\perp$ ,
$\tau ((\neg (q\Rightarrow q)\vee \neg p)=\perp$ ,
$F(p,q)=\left ( p\Leftrightarrow \left ( \neg q\wedge p \right ) \right )\Rightarrow \neg p$ .
Dokazati skupovnu jednakost: $C\cup(B\setminus A)=C\cup \left [ C'\cap (C\setminus A)\right ]$ . (dokazati odgovarajuću iskaznu formulu diskusijom po slovu)
Ispitati da li je formula tautologija metodom svođenja na apsurd:
$( \neg ( p \vee q )\vee ( r\vee s ) )\Rightarrow \left ( \left ( \neg r\wedge \neg s \right )\Rightarrow \left ( p\Rightarrow \neg q \right ) \right )$ .
Odredi istinitosnu vrednost iskaza p i q a zatim odredi istinitosnu vrednost formule F.
$\tau ((\perp \Rightarrow (p\vee q))\wedge p)=\perp$
$\tau (\neg (q\vee q)\Rightarrow p)=\perp$
$F(p,q)=\left ( p\Leftrightarrow \left ( \neg q\wedge p \right ) \right )\Rightarrow \neg p$
Dokazati skupovnu jednakost: $A\cup \left [ A'\cap \left ( B\setminus C \right ) \right ]=A\cup \left ( B\setminus C \right )$ .(dokazati odgovarajuću iskaznu formulu diskusijom po slovu)
Ispitati da li je formula tautologija metodom svođenja na apsurd:
$((\neg p \wedge \neg q)\vee (r\wedge s))\Rightarrow ((\neg r\vee \neg s)\Rightarrow (p\Rightarrow \neg q))$ .
Diskusijom po slovu dokazati da je sledeća formula tautologija
$\left ( p\Leftrightarrow q \right )\Rightarrow \left ( \left ( p\wedge r\Leftrightarrow q\wedge r \right )\wedge \left ( p\vee r\Leftrightarrow q\vee r \right ) \right )$ .
Diskusijom po slovu dokazati da je sledeća formula tautologija
$((p\vee q \vee r)\Rightarrow s )\Leftrightarrow (( p\Rightarrow s) \wedge (q\Rightarrow s)\wedge(r\Rightarrow s))$ .

Rešenja zadataka 4-15

Skupovne operacije

Dati su skupovi $A=\left \{ 1,2 \right \}$ i $B=\left \{ 1,\left \{ 1 \right \},\left \{ 1,2 \right \} \right \}$ . Odredi skupove $A\cap B,A\cup B,A\setminus B$ i $B\setminus A$ .
Dokaži da za sve skupove $A,B,C$ važi: $A\cup B\cup C=(A\setminus B)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus A)\cup (A\cap B\cap C)$
Ako je $S=\left \{ 0,\left \{ 0 \right \}, \left \{ 0,1 \right \}\right \}$ , odredi sve $x$ za koje važi: a) $x \in S$ ; b) $x\subset S$ .
Dati su skupovi:
$A=\left \{ x\mid x\in Z\wedge \left | x \right |\leqslant 1 \right \}$ ,
$B=\left \{ x\mid x\in N\wedge 7-x>3\right \}$ ,
$C=\left \{ x\mid x\in N\wedge 3x+2<15\right \}$ ;
Odredi skupove $A\times B, A\setminus (B\cup C), A\triangle B$ .
Dati su skupovi $A=\left \{ x\mid x\in Z\wedge x^2=4 \right \}$ , $B=\left \{ x\mid x\in N\wedge 3x+2<16 \right \}$ i $C=\left \{ x\mid x\in N\wedge 17-3x>2 \right \}$ . Odredi:
$A^2, A\setminus (B\cup C), C\cap A$ .
Dati su skupovi: $A=\left \{ x\mid x\in N \wedge x\leqslant 6\right \}$ , $B=\left \{-4,-2,0,2,4,6,8\right \}$ i $C=\left \{-4,-3,0,1,3,4,10\right \}$ . Odredi skupove:
$(A\setminus B)\cup (B\cap C)$ ;
$A\times \left \{1,2\right \}$ ;
$A\cup C$ ;
$B\setminus A$ ;
$(C\cap A)\cap B$ .
Odredi skupove A i B ako važi: $A\cup B=\left \{1,2,3,4,5,6\right \}$ , $2 \in A \setminus B$ , $3\in B\setminus A$ , $A\cap \left \{ 4,5,6\right \}=\varnothing$ , $B\cap \left \{ 1\right \}=\varnothing$ .
Odredi skupove A i B ako važi: $A\cup B=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i \right \}$ , $A\cap B=\left \{ a \right \}$ , $B\cap \left \{ c,i \right \}=\varnothing$ , $B\setminus A= \left \{ d,e,f,g,h \right \}$ .

Rešenja zadataka 4-8

Kombinatorika

Koliko se petocifrenih brojeva može napisati pomoću cifara $0,1,2,...,9$ ako se cifre: a) ne mogu ponavljati; b) mogu ponavljati?
Dato je sedam ravni takvih da se svake dve od njih seku. Koliko je najviše pravih određeno njihovim presecima?
U kupeu jednog voza nalaze se dve klupe, okrenute jedna prema drugoj sa po pet mesta. Od deset putnika, četiri želi da sedi u smeru kretanja voza, troje u suprotnom smeru, a preostalima je svejedno. Na koliko načina se putnici mogu rasporediti na mesta u kupeu?
U skupu od $10$ tačaka postoji tačno $6$ četvorki koplanarnih tačaka. Koliko ravni određuje ovih $10$ tačaka? (koplanarne tačke su tačke jedne ravni)
Na polici se nalazi $14$ knjiga, od kojih su $6$ na ruskom, $3$ na engleskom i $5$ na francuskom jeziku. Na koliko različitih načina se mogu rasporediti knjige na polici, ako se knjige na istom jeziku moraju nalaziti jedna uz drugu?
Dat je skup od $n$ tačaka, među kojima ne postoji nijedna trojka kolinearnih tačaka. Koliko tačaka sadrži taj skup ako je broj pravih određenih tim tačkama tri puta veći od broja tačaka?
Dati su četvoročlani skupovi $A=\left \{a,b,c,d \right \}$ i $M=\left \{1,2,3,4\right \}$ . Koliko ima 1 – 1 и NA preslikavanja $f : A\rightarrow M$ ?
U skupu od sedam tačaka postoji tačno šest trojki kolinearnih tačaka i ne postoje četiri tačke koje su kolinearne. Koliko različitih pravih određuju tačke ovog skupa?
Koliko se šestocifrenih brojeva može sastaviti od cifara $0,1,2,3,4,5$ uz uslov da se svaka cifra pojavljuje tačno jednom i da su parne cifre jedna uz drugu. (napomena: 0 je parna cifra).
a) Koliko se pravih može formirati od 6 nekolinearnih tačaka?
b) Izračunaj vrednost izraza: $\overline{V_{3}^{6}}-P(4)-V_{4}^{7}+C_{5}^{8}$ .
a) Uprosti vrednost izraza: $\overline{V_{3}^{9}}-V_{4}^{8}-C_{4}^{5}+P(4)$ .b) Koliko je pravih određeno sa šest nekolinearnih tačaka?

Rešenja zadataka 10-11

Relacije

U skupu formula $\mathfrak{F }=\left \{ p\Rightarrow q,\neg(\neg p\wedge q),p\wedge q, \neg q\vee p, q\vee \neg p, q\Rightarrow p \right \}$ uvedena je relacija $F_1\sim F_2 \text{ ako i samo ako } (F_1\Leftrightarrow F_2) \text{ je tautologija.}$
a) Dokaži da je $\sim$ relacija ekvivalencije i odredi klase ekvivalencije.
b) Nacrtaj graf relacije $\sim$ .
Na skupu $A=\left \{ -5,-3,-1,2,4 \right \}$ definisana je relacija: $x\rho y\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 25$
a) Da li je $\rho$ refleksivna, simetrična, antisimetrična, tranzitivna?
b) Nacrtaj graf i napravi tablicu relacije $\rho$ .

Funkcije

Data je funkcija $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{2}-5$ .
a) Dokaži da je $f$ bijekcija i odredi $f^{-1}(x)$ .
b) Proveri tačnost jednakosti $(f\circ f^{-1} )(x)=x$ i $(f^{-1}\circ f )(x)=x$ .
Data je funkcija $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(2x+1)=4x^2+4x$
a) Izračunaj $f(3)$ ;
b) Odredi $f(x)$ .
c) Da li je funkcija $f$ 1-1 i „na“ funkcija?
d) Za datu funkciju $f$ na skupu $\left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \}$ definisana je relacija $x\rho y\Leftrightarrow f(x)=f(y)$ . Dokaži da je $\rho$ relacija ekvivalencije i odredi odgovarajuće klase.
Neka je $f(3x-1)=6x-8$ .
a) Odredi $f(5)$ .
b) Odredi $f(x)$ .
c) Dokaži da je $f$ 1-1 funkcija.
d) Nacrtaj grafike funkcija $y=f(x)$ i $y=f^{-1}(x)$ .
Ako je $\frac{1}{2}f(x)+2f\left ( \frac{1}{x} \right )=x$ , tada je $f(2)$ jednako:
a) $2$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) $-2$ ; d) $0$ ; e) $1$ .
Ako je $f\left ( \frac{x}{x+1} \right )=(x-1)^2$ , tada je $f(3)$ jednako:
a) $\frac{25}{4}$ ; b) $1$ ; c) $3$ ; d) $\frac{49}{4}$ ; e) $4$ .
Ako je $f\left ( \frac{x+2}{2x+1} \right )=5x+3$ , tada je $f(x)$ jednako:
a) $x$ ; b) $\frac{x+13}{2x-1}$ ; c) $\frac{-x-7}{2x-1}$ ; d) $\frac{x+7}{2x-1}$ ; e) $\frac{2-x}{2x-1}$ .
Ako je $f(x)=2^x+2^{-x}$ , tada je $f(x+y)+f(x-y)-f(x)f(y)$ jednako:
a) $1$ ; b) $0$ ; c) $2^x$ ; d) $2^y$ ; e) $2$ .
Ako je $f(x-2)=x^3-2x-1$ tada je $f(1)$ jednako:
a) $-2$ ; b) $2$ ; c) $27$ ; d) $20$ ; e) $-1$ .
Ako je $f(x+2005)=3x+2005$ , onda je: $f(2006)$ jednako:
a) $2008$ ; b) $2005$ ; c) $2006$ ; d) $2010$ ; e) $2000$ .
Ako je $f(x)=\frac{2x+1}{x-2}$ , tada je $f(f(x))$ jednako:
a) $5$ ; b) $2x+1$ ; c) $2$ ; d) $\frac{2x+1}{x-2}$ ; e) $x$ .