Logika i skupovi

Iskazne formule

  1. Ispitaj da li je formula (\neg r\Rightarrow (p\vee q))\Leftrightarrow (p\vee q\vee r) tautologija.
  2. Odredi sve vrednosti promenljive x iz skupa \left \{ 1,2,3,4,5 \right \} tako da formula:
    a) x\leq 4\Rightarrow x\neq 3;
    b) x>1\wedge x\neq 4;
    c) x\leq 3\Leftrightarrow x>2
    bude tačna.
  3. Ispitaj da li je formula (p\Leftrightarrow (q\vee r))\Rightarrow ((p\wedge r)\Leftrightarrow (q\wedge r)) tautologija.
  4. Dati su iskazi:
    p\equiv -\frac{1}{4}+\frac{3}{2}>-\frac{2}{3}\cdot 6,
    q\equiv -0,2-4:5>-3,2+1,
    r\equiv -\frac{1}{4}:0,25<-3,2:0,08
    Odredi istinitosnu vrednost iskaza p\Rightarrow q\vee r  i  \neg p \Leftrightarrow q\wedge  r.
  5. Za date iskaze
    p\equiv -\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\cdot \left ( -\frac{2}{3}:\frac{1}{6} \right )>-1\frac{1}{2}:0,5,
    q\equiv 1\frac{5}{12}:\left ( -\frac{3}{14} \right )>-1\frac{1}{2}+\frac{3}{4},
    r\equiv -0,8-0,02\cdot 5\geqslant -0,3:2,
    odredi istinitosne vrednosti formula:
    (p\vee q)\Rightarrow \neg r  i  p\Leftrightarrow q\wedge r.
  6. Za date iskaze:
    p\equiv  \frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\leqslant 1-\frac{7}{8}
    q\equiv  2,55:1,55\leqslant 1,5-2,25
    r\equiv 8\cdot (-7)+9,5\cdot 3,4\leqslant 12\cdot 10
    odredi istinitosnu vrednost formule  (p\Rightarrow q)\wedge (\neg p \Leftrightarrow r ).
  7. Ispitaj da li je data iskazna formula tautologija:  (\neg p \Rightarrow  q)\Leftrightarrow ( p \vee q ).
  8. Odredi istinitosnu vrednost iskaza p i q a zatim odredi istinitosnu vrednost formule F.
    \tau ((\perp \wedge  (p\vee q))\Leftrightarrow  p)=\perp ,
    \tau ((\neg (q\Rightarrow  q)\vee \neg p)=\perp ,
    F(p,q)=\left ( p\Leftrightarrow \left ( \neg q\wedge p \right ) \right )\Rightarrow \neg p.
  9. Dokazati skupovnu jednakost: C\cup(B\setminus A)=C\cup \left [ C'\cap (C\setminus A)\right ]. (dokazati odgovarajuću iskaznu formulu diskusijom po slovu)
  10. Ispitati da li je formula tautologija metodom svođenja na apsurd:
     ( \neg ( p \vee  q )\vee  ( r\vee s ) )\Rightarrow \left ( \left ( \neg r\wedge \neg s \right )\Rightarrow \left ( p\Rightarrow \neg q \right ) \right ).
  11. Odredi istinitosnu vrednost iskaza p i q a zatim odredi istinitosnu vrednost formule F.
    \tau ((\perp \Rightarrow (p\vee q))\wedge p)=\perp
    \tau (\neg (q\vee q)\Rightarrow p)=\perp
    F(p,q)=\left ( p\Leftrightarrow \left ( \neg q\wedge p \right ) \right )\Rightarrow \neg p
  12. Dokazati skupovnu jednakost: A\cup \left [ A'\cap \left ( B\setminus C \right ) \right ]=A\cup \left ( B\setminus C \right ).(dokazati odgovarajuću iskaznu formulu diskusijom po slovu)
  13. Ispitati da li je formula tautologija metodom svođenja na apsurd:
    ((\neg p \wedge \neg q)\vee (r\wedge s))\Rightarrow ((\neg r\vee \neg s)\Rightarrow (p\Rightarrow \neg q)).
  14. Diskusijom po slovu dokazati da je sledeća formula tautologija
    \left ( p\Leftrightarrow q \right )\Rightarrow \left ( \left ( p\wedge r\Leftrightarrow q\wedge r \right )\wedge \left ( p\vee r\Leftrightarrow q\vee r \right ) \right ).
  15. Diskusijom po slovu dokazati da je sledeća formula tautologija
    ((p\vee q \vee r)\Rightarrow s )\Leftrightarrow (( p\Rightarrow s) \wedge (q\Rightarrow s)\wedge(r\Rightarrow s)).

Rešenja zadataka 4-15

Skupovne operacije

  1. Dati su skupovi A=\left \{ 1,2 \right \} i B=\left \{ 1,\left \{ 1 \right \},\left \{ 1,2 \right \} \right \}. Odredi skupove A\cap B,A\cup B,A\setminus B i B\setminus A.
  2. Dokaži da za sve skupove A,B,C važi: A\cup B\cup C=(A\setminus B)\cup (B\setminus C)\cup (C\setminus A)\cup (A\cap B\cap C)
  3. Ako je S=\left \{ 0,\left \{ 0 \right \}, \left \{ 0,1 \right \}\right \}, odredi sve x za koje važi: a) x \in S; b) x\subset S.
  4. Dati su skupovi:
    A=\left \{ x\mid x\in Z\wedge \left | x \right |\leqslant 1 \right \},
    B=\left \{ x\mid x\in N\wedge 7-x>3\right \},
    C=\left \{ x\mid x\in N\wedge 3x+2<15\right \};
    Odredi skupove A\times B, A\setminus (B\cup C), A\triangle B.
  5. Dati su skupovi  A=\left \{ x\mid x\in Z\wedge x^2=4 \right \},   B=\left \{ x\mid x\in N\wedge 3x+2<16 \right \}   i   C=\left \{ x\mid x\in N\wedge 17-3x>2 \right \}. Odredi:
    A^2, A\setminus (B\cup C), C\cap A.
  6. Dati su skupovi:   A=\left \{ x\mid x\in N \wedge x\leqslant 6\right \}B=\left \{-4,-2,0,2,4,6,8\right \}  i   C=\left \{-4,-3,0,1,3,4,10\right \}.  Odredi skupove:
    (A\setminus B)\cup (B\cap C);
    A\times \left \{1,2\right \};
    A\cup C;
    B\setminus A;
    (C\cap A)\cap B.
  7. Odredi skupove A i B ako važi: A\cup B=\left \{1,2,3,4,5,6\right \}2 \in A \setminus B 3\in B\setminus A A\cap \left \{ 4,5,6\right \}=\varnothingB\cap \left \{ 1\right \}=\varnothing.
  8. Odredi skupove A i B ako važi: A\cup B=\left \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i \right \}, A\cap B=\left \{ a \right \}, B\cap \left \{ c,i \right \}=\varnothing , B\setminus A= \left \{ d,e,f,g,h \right \}.

Rešenja zadataka 4-8

Kombinatorika

  1. Koliko se petocifrenih brojeva može napisati pomoću cifara 0,1,2,...,9 ako se cifre: a) ne mogu ponavljati; b) mogu ponavljati?
  2. Dato je sedam ravni takvih da se svake dve od njih seku. Koliko je najviše pravih određeno njihovim presecima?
  3. U kupeu jednog voza nalaze se dve klupe, okrenute jedna prema drugoj sa po pet mesta. Od deset putnika, četiri želi da sedi u smeru kretanja voza, troje u suprotnom smeru, a preostalima je svejedno. Na koliko načina se putnici mogu rasporediti na mesta u kupeu?
  4. U skupu od 10 tačaka postoji tačno 6 četvorki koplanarnih tačaka. Koliko ravni određuje ovih 10 tačaka? (koplanarne tačke su tačke jedne ravni)
  5. Na polici se nalazi 14 knjiga, od kojih su 6 na ruskom, 3 na engleskom i 5 na francuskom jeziku. Na koliko različitih načina se mogu rasporediti knjige na polici, ako se knjige na istom jeziku moraju nalaziti jedna uz drugu?
  6. Dat je skup od n tačaka, među kojima ne postoji nijedna trojka kolinearnih tačaka. Koliko tačaka sadrži taj skup ako je broj pravih određenih tim tačkama tri puta veći od broja tačaka?
  7. Dati su četvoročlani skupovi A=\left \{a,b,c,d \right \} i M=\left \{1,2,3,4\right \}. Koliko ima 1 – 1 и NA preslikavanja f : A\rightarrow M?
  8. U skupu od sedam tačaka postoji tačno šest trojki kolinearnih tačaka i ne postoje četiri tačke koje su kolinearne. Koliko različitih pravih određuju tačke ovog skupa?
  9. Koliko se šestocifrenih brojeva može sastaviti od cifara 0,1,2,3,4,5 uz uslov da se svaka cifra pojavljuje tačno jednom i da su parne cifre jedna uz drugu. (napomena: 0 je parna cifra).
  10. a) Koliko se pravih može formirati od 6 nekolinearnih tačaka?
    b) Izračunaj vrednost izraza:  \overline{V_{3}^{6}}-P(4)-V_{4}^{7}+C_{5}^{8}.
  11. a) Uprosti vrednost izraza: \overline{V_{3}^{9}}-V_{4}^{8}-C_{4}^{5}+P(4).b) Koliko je pravih određeno sa šest nekolinearnih tačaka?

Rešenja zadataka 10-11

Relacije

  1. U skupu formula \mathfrak{F }=\left \{ p\Rightarrow q,\neg(\neg p\wedge q),p\wedge q, \neg q\vee p, q\vee \neg p, q\Rightarrow p \right \} uvedena je relacija F_1\sim F_2 \text{ ako i samo ako } (F_1\Leftrightarrow F_2) \text{ je tautologija.}
    a) Dokaži da je \sim relacija ekvivalencije i odredi klase ekvivalencije.
    b) Nacrtaj graf relacije \sim.
  2. Na skupu A=\left \{ -5,-3,-1,2,4 \right \} definisana je relacija: x\rho y\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 25
    a) Da li je \rho refleksivna, simetrična, antisimetrična, tranzitivna?
    b) Nacrtaj graf i napravi tablicu relacije \rho.

Funkcije

  1. Data je funkcija f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\frac{x}{2}-5.
    a) Dokaži da je f bijekcija i odredi f^{-1}(x).
    b) Proveri tačnost jednakosti (f\circ f^{-1} )(x)=x i (f^{-1}\circ f )(x)=x.
  2. Data je funkcija f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(2x+1)=4x^2+4x
    a) Izračunaj f(3);
    b) Odredi f(x).
    c) Da li je funkcija f 1-1 i „na“ funkcija?
    d) Za datu funkciju f na skupu \left \{ -3,-2,-1,0,1,2,3 \right \} definisana je relacija x\rho y\Leftrightarrow f(x)=f(y). Dokaži da je \rho relacija ekvivalencije i odredi odgovarajuće klase.
  3. Neka je f(3x-1)=6x-8.
    a) Odredi f(5).
    b) Odredi f(x).
    c) Dokaži da je f 1-1 funkcija.
    d) Nacrtaj grafike funkcija y=f(x) i y=f^{-1}(x).
  4. Ako je \frac{1}{2}f(x)+2f\left ( \frac{1}{x} \right )=x, tada je f(2) jednako:
    a) 2;          b) \frac{1}{2};        c) -2;        d) 0;        e) 1.
  5. Ako je f\left ( \frac{x}{x+1} \right )=(x-1)^2, tada je f(3) jednako:
    a) \frac{25}{4};          b) 1;         c) 3;         d) \frac{49}{4};         e) 4.
  6. Ako je f\left ( \frac{x+2}{2x+1} \right )=5x+3, tada je f(x) jednako:
    a) x;          b) \frac{x+13}{2x-1};         c) \frac{-x-7}{2x-1};         d) \frac{x+7}{2x-1};         e) \frac{2-x}{2x-1}.
  7. Ako je f(x)=2^x+2^{-x}, tada je f(x+y)+f(x-y)-f(x)f(y) jednako:
    a) 1;          b) 0;        c) 2^x;        d) 2^y;        e) 2.
  8. Ako je f(x-2)=x^3-2x-1 tada je f(1) jednako:
    a) -2;          b) 2;        c) 27;        d) 20;        e) -1.
  9. Ako je f(x+2005)=3x+2005, onda je: f(2006) jednako:
    a) 2008;          b) 2005;        c) 2006;        d) 2010;        e) 2000.
  10. Ako je f(x)=\frac{2x+1}{x-2}, tada je f(f(x)) jednako:
    a) 5;          b) 2x+1;        c) 2;        d) \frac{2x+1}{x-2};        e) x.

Rešenja zadataka 4-10

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s