Geometrija

Osnovi geometrije

  1. Odredi pravu koja sadrži datu tačku M i seče dve date mimoilazne prave p i q.
  2. Neka su p i q dve mimolilazne prave. Dokaži da postoje dve paralelne ravni \alpha i \beta takve da p\subset \alpha i q\subset \beta .
  3. Ako neka ravan seče jednu od dve paralelne prave, dokazati da seče i drugu.

Geometrija trougla (uglovi, podudarnost, konstrukcije)

  1. Neka je S centar opisanog kruga oštrouglog trougla ABC. Ako je \sphericalangle SBC=30^{\circ} i \sphericalangle BCA=50^{\circ}, odredi meru ugla ABC.
  2. Dat je jednakokraki trougao ABC (AB=BC). Neka je D tačka na produžetku kraka BA takva da je AD=AB. Dokaži da je \sphericalangle BCD prav.
  3. Neka je H ortocentar trougla ABC. Dokaži da je \sphericalangle AHB+\sphericalangle ACB=180^{\circ}.
  4. Konstruiši trougao ABC ako su dati: jedna visina, dužina simetralne duži iz istog temena i poluprečnik upisanog kruga.
  5. Neka je MN (M\in AB, N\in AC), tangenta kruga upisanog u trougao ABC paralelna stranici BC. Ako su stranice trougla ABC: AB=7cm, BC=8cm i CA=10cm, izračunaj obim trougla AMN.
  6. Na kracima AB i AC jednakokrakog trougla ABC određene su tačke P i Q tako da je \measuredangle PMB=\measuredangle QMC, gde je M središte osnovice BC. Dokaži da je BQ=CP.
  7. Neka su AA_1, BB_1 i CC_1 visine trougla ABC i H njegov ortocentar. Ako je \measuredangle A_1HC_1=116^{\circ} i \measuredangle A_1HB_1=108^{\circ}, odredi \measuredangle BAC.
  8. Neka su CD i C'D' visine oštrouglih trouglova ABC i A'B'C'. Ako je CD=C'D', AB=A'B' i \angle ACD=\angle A'C'D', dokazati da su trouglovi ABC i A'B'C' podudarni.
  9. Dokazati da su dva trougla podudarna ako su im jednaki sledeći odgovarajući elementi: b=b_{1}, c=c_{1}, t_{c}=t_{c_{1}}.
  10. Dokazati da su dva trougla podudarna ako su im jednaki sledeći odgovarajući elementi: a=a_{1},c=c_{1}, h_{c}=h_{c_{1}}.
  11. Konstruiši trougao ABC ako je dato: \beta , c, h_c.
  12. Konstruisati trougao ABC ako je dato: b,c,h_{c}.
  13. Konstruisati \triangle ABC ako su dati elementi: a,c,h_{c}.

Rešenja zadataka 9-13

Geometrija četvorougla (uglovi, podudarnost, konstrukcije)

  1. U krug k upisan je oštrougli trougao ABC. Prava m, koja nema zajedničkih tačaka sa k i paralelna je sa BC, seče pravu AB u tački D. Ako je X tačka kruga k na luku BC, koji ne sadrži tačku A, a Y presek pravih CX i m, dokaži da je četvorougao ADXY paralelogram.
  2. Konstruiši paralelogram ako su dati jedna stranica, njoj odgovarajuća visina i ugao između dijagonala.
  3. Neka se krugovi k i l seku u tačkama M i N. Proizvoljna sečica ovih krugova, kroz M, seče krugove k i l u tačkama A i B, a proizvoljna sečica n, kroz N, seče ih u tačkama C i D. Dokaži da je četvorougao ABCD trapez.

Vektori

  1. U paralelogramu ABCD je \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a} i \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B}. Tačka M je središte duži BC, Q je tačka prave AB takva da je \overrightarrow{BQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, a P je tačka prave BC takva da je \overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. Vektore: \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{QD},\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{DQ} i \overrightarrow{PQ} izrazi preko vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b}.
  2. a) Dat je kvadrat ABCD. Ako je \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b} i \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}, konstruiši vektor \overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}.
    b) Ako je u pravilnom šestouglu ABCDEF: \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a} i \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b} preko vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} izrazi vektore \overrightarrow{FE},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AC} i \overrightarrow{FA}.
  3. Neka su M_1,M_2,M_3,M_4 i M_5 središta stranica AB, BC,CD,DE i EA petougla ABCDE. Izrazi vektor \vec{M_1M_2}+\vec{M_4M_5} preko vektora \vec{AE}.
  4. Neka su \vec{i} i \vec{j} linearno nezavisni vektori. Odredi broj k tako da vektori \vec{x} i \vec{y} budu kolinearni, ako je: \vec{x}=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{y}=k\vec{i}-\vec{j}
  5. U ravni su dati vektori \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Konstruisati vektore \vec{v_1}=2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b} i \vec{v_2}=\frac{3}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{c}.
  6. Tačke C i D dele duž AB na tri jednaka odsečka. Tačka O je proizvoljna izvan prave AB. Ako je \vec{OA}= \vec{a} i \vec{OB}= \vec{b} izrazi vektore \vec{OC} i \vec{OD} pomoću vektora \vec{a} i \vec{b}.
  7. Neka su M i N središta stranica AB i CD četvorougla ABCD. Dokazati da je \vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC}).
  8. Date su tri tačke A, B i C na pravoj l i tačka M izvan te prave. Ako jei \vec{AB}=3\vec{AC} izrazi vektor \vec{MC} vektorima \vec{MA} i \vec{MB}.
  9. Srednja linija trougla paralelna je sa trećom stranicom i jednaka je njenoj polovini. Dokazati.
  10. Neka su \vec{i} i \vec{j} linearno nezavisni vektori. Odredi broj k tako da vektori \vec{x} i \vec{y} budu kolinearni, ako je: \vec{x}=\vec{i}+k\vec{j}, \vec{y}=-2\vec{i}+3\vec{j}
  11. U ravni su dati vektori \vec{a},\vec{b},\vec{c}. Konstruisati vektore \vec{v_1}=2\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b} i \vec{v_2}=\frac{3}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}.

Translacija

  1. Dati kvadrat ABCD preslikati translacijom za vektor  \overrightarrow{BA}.
  2. Dati kvadrat ABCD preslikati translacijom za vektor \overrightarrow{OC}, gde je tačka O presek dijagonala kvadrata.
  3. Dati trougao ABC preslikati : a) translacijom za vektor 2\vec{a} ako je dat vektor \vec{a};  b)  rotacijom oko tačke O za 60° ako tačka O ne pripada trouglu ABC.

Rešenja zadataka 1-3

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s