Osnovi geometrije
- Odredi pravu koja sadrži datu tačku
i seče dve date mimoilazne prave
i
.
- Neka su
i
dve mimolilazne prave. Dokaži da postoje dve paralelne ravni
i
takve da
i
.
- Ako neka ravan seče jednu od dve paralelne prave, dokazati da seče i drugu.
Geometrija trougla (uglovi, podudarnost, konstrukcije)
- Neka je
centar opisanog kruga oštrouglog trougla
. Ako je
i
, odredi meru ugla
.
- Dat je jednakokraki trougao
(
). Neka je
tačka na produžetku kraka
takva da je
. Dokaži da je
prav.
- Neka je
ortocentar trougla
. Dokaži da je
.
- Konstruiši trougao
ako su dati: jedna visina, dužina simetralne duži iz istog temena i poluprečnik upisanog kruga.
- Neka je
(
), tangenta kruga upisanog u trougao
paralelna stranici
. Ako su stranice trougla
:
i
, izračunaj obim trougla
.
- Na kracima
i
jednakokrakog trougla
određene su tačke
i
tako da je
, gde je
središte osnovice
. Dokaži da je
.
- Neka su
i
visine trougla
i
njegov ortocentar. Ako je
i
, odredi
.
- Neka su
i
visine oštrouglih trouglova
i
. Ako je
i
, dokazati da su trouglovi
i
podudarni.
- Dokazati da su dva trougla podudarna ako su im jednaki sledeći odgovarajući elementi:
.
- Dokazati da su dva trougla podudarna ako su im jednaki sledeći odgovarajući elementi:
.
- Konstruiši trougao ABC ako je dato:
.
- Konstruisati trougao ABC ako je dato:
.
- Konstruisati
ako su dati elementi:
.
Geometrija četvorougla (uglovi, podudarnost, konstrukcije)
- U krug
upisan je oštrougli trougao
. Prava
, koja nema zajedničkih tačaka sa
i paralelna je sa
, seče pravu
u tački
. Ako je
tačka kruga
na luku
, koji ne sadrži tačku
, a
presek pravih
i
, dokaži da je četvorougao
paralelogram.
- Konstruiši paralelogram ako su dati jedna stranica, njoj odgovarajuća visina i ugao između dijagonala.
- Neka se krugovi
i
seku u tačkama
i
. Proizvoljna sečica ovih krugova, kroz
, seče krugove
i
u tačkama
i
, a proizvoljna sečica
, kroz
, seče ih u tačkama
i
. Dokaži da je četvorougao
trapez.
Vektori
- U paralelogramu
je
i
. Tačka
je središte duži
,
je tačka prave
takva da je
, a
je tačka prave
takva da je
. Vektore:
i
izrazi preko vektora
i
.
- a) Dat je kvadrat
. Ako je
i
, konstruiši vektor
.
b) Ako je u pravilnom šestouglu:
i
preko vektora
i
izrazi vektore
i
.
- Neka su
i
središta stranica
i
petougla
. Izrazi vektor
preko vektora
.
- Neka su
i
linearno nezavisni vektori. Odredi broj
tako da vektori
i
budu kolinearni, ako je:
- U ravni su dati vektori
. Konstruisati vektore
i
.
- Tačke
i
dele duž
na tri jednaka odsečka. Tačka
je proizvoljna izvan prave
. Ako je
i
izrazi vektore
i
pomoću vektora
i
.
- Neka su
i
središta stranica
i
četvorougla
. Dokazati da je
.
- Date su tri tačke
i
na pravoj
i tačka
izvan te prave. Ako jei
izrazi vektor
vektorima
i
.
- Srednja linija trougla paralelna je sa trećom stranicom i jednaka je njenoj polovini. Dokazati.
- Neka su
i
linearno nezavisni vektori. Odredi broj
tako da vektori
i
budu kolinearni, ako je:
- U ravni su dati vektori
. Konstruisati vektore
i
.
Translacija
- Dati kvadrat ABCD preslikati translacijom za vektor
.
- Dati kvadrat ABCD preslikati translacijom za vektor
, gde je tačka O presek dijagonala kvadrata.
- Dati trougao ABC preslikati : a) translacijom za vektor
ako je dat vektor
; b) rotacijom oko tačke O za 60° ako tačka O ne pripada trouglu ABC.