Geometrija

Osnovi geometrije

Odredi pravu koja sadrži datu tačku $M$ i seče dve date mimoilazne prave $p$ i $q$ .
Neka su $p$ i $q$ dve mimolilazne prave. Dokaži da postoje dve paralelne ravni $\alpha$ i $\beta$ takve da $p\subset \alpha$ i $q\subset \beta$ .
Ako neka ravan seče jednu od dve paralelne prave, dokazati da seče i drugu.

Geometrija trougla (uglovi, podudarnost, konstrukcije)

Neka je $S$ centar opisanog kruga oštrouglog trougla $ABC$ . Ako je $\sphericalangle SBC=30^{\circ}$ i $\sphericalangle BCA=50^{\circ}$ , odredi meru ugla $ABC$ .
Dat je jednakokraki trougao $ABC$ ( $AB=BC$ ). Neka je $D$ tačka na produžetku kraka $BA$ takva da je $AD=AB$ . Dokaži da je $\sphericalangle BCD$ prav.
Neka je $H$ ortocentar trougla $ABC$ . Dokaži da je $\sphericalangle AHB+\sphericalangle ACB=180^{\circ}$ .
Konstruiši trougao $ABC$ ako su dati: jedna visina, dužina simetralne duži iz istog temena i poluprečnik upisanog kruga.
Neka je $MN$ ( $M\in AB, N\in AC$ ), tangenta kruga upisanog u trougao $ABC$ paralelna stranici $BC$ . Ako su stranice trougla $ABC$ : $AB=7cm, BC=8cm$ i $CA=10cm$ , izračunaj obim trougla $AMN$ .
Na kracima $AB$ i $AC$ jednakokrakog trougla $ABC$ određene su tačke $P$ i $Q$ tako da je $\measuredangle PMB=\measuredangle QMC$ , gde je $M$ središte osnovice $BC$ . Dokaži da je $BQ=CP$ .
Neka su $AA_1, BB_1$ i $CC_1$ visine trougla $ABC$ i $H$ njegov ortocentar. Ako je $\measuredangle A_1HC_1=116^{\circ}$ i $\measuredangle A_1HB_1=108^{\circ}$ , odredi $\measuredangle BAC$ .
Neka su $CD$ i $C'D'$ visine oštrouglih trouglova $ABC$ i $A'B'C'$ . Ako je $CD=C'D', AB=A'B'$ i $\angle ACD=\angle A'C'D'$ , dokazati da su trouglovi $ABC$ i $A'B'C'$ podudarni.
Dokazati da su dva trougla podudarna ako su im jednaki sledeći odgovarajući elementi: $b=b_{1}, c=c_{1}, t_{c}=t_{c_{1}}$ .
Dokazati da su dva trougla podudarna ako su im jednaki sledeći odgovarajući elementi: $a=a_{1},c=c_{1}, h_{c}=h_{c_{1}}$ .
Konstruiši trougao ABC ako je dato: $\beta , c, h_c$ .
Konstruisati trougao ABC ako je dato: $b,c,h_{c}$ .
Konstruisati $\triangle ABC$ ako su dati elementi: $a,c,h_{c}$ .

Rešenja zadataka 9-13

Geometrija četvorougla (uglovi, podudarnost, konstrukcije)

U krug $k$ upisan je oštrougli trougao $ABC$ . Prava $m$ , koja nema zajedničkih tačaka sa $k$ i paralelna je sa $BC$ , seče pravu $AB$ u tački $D$ . Ako je $X$ tačka kruga $k$ na luku $BC$ , koji ne sadrži tačku $A$ , a $Y$ presek pravih $CX$ i $m$ , dokaži da je četvorougao $ADXY$ paralelogram.
Konstruiši paralelogram ako su dati jedna stranica, njoj odgovarajuća visina i ugao između dijagonala.
Neka se krugovi $k$ i $l$ seku u tačkama $M$ i $N$ . Proizvoljna sečica ovih krugova, kroz $M$ , seče krugove $k$ i $l$ u tačkama $A$ i $B$ , a proizvoljna sečica $n$ , kroz $N$ , seče ih u tačkama $C$ i $D$ . Dokaži da je četvorougao $ABCD$ trapez.

Vektori

U paralelogramu $ABCD$ je $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{B}$ . Tačka $M$ je središte duži $BC$ , $Q$ je tačka prave $AB$ takva da je $\overrightarrow{BQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , a $P$ je tačka prave $BC$ takva da je $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ . Vektore: $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{QD},\overrightarrow{MQ},\overrightarrow{DQ}$ i $\overrightarrow{PQ}$ izrazi preko vektora $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ .
a) Dat je kvadrat $ABCD$ . Ako je $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$ , konstruiši vektor $\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$ .
b) Ako je u pravilnom šestouglu $ABCDEF$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$ preko vektora $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ izrazi vektore $\overrightarrow{FE},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{FA}$ .
Neka su $M_1,M_2,M_3,M_4$ i $M_5$ središta stranica $AB, BC,CD,DE$ i $EA$ petougla $ABCDE$ . Izrazi vektor $\vec{M_1M_2}+\vec{M_4M_5}$ preko vektora $\vec{AE}$ .
Neka su $\vec{i}$ i $\vec{j}$ linearno nezavisni vektori. Odredi broj $k$ tako da vektori $\vec{x}$ i $\vec{y}$ budu kolinearni, ako je: $\vec{x}=2\vec{i}+\vec{j}, \vec{y}=k\vec{i}-\vec{j}$
U ravni su dati vektori $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ . Konstruisati vektore $\vec{v_1}=2\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}$ i $\vec{v_2}=\frac{3}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{2}{3}\vec{c}$ .
Tačke $C$ i $D$ dele duž $AB$ na tri jednaka odsečka. Tačka $O$ je proizvoljna izvan prave $AB$ . Ako je $\vec{OA}= \vec{a}$ i $\vec{OB}= \vec{b}$ izrazi vektore $\vec{OC}$ i $\vec{OD}$ pomoću vektora $\vec{a}$ i $\vec{b}$ .
Neka su $M$ i $N$ središta stranica $AB$ i $CD$ četvorougla $ABCD$ . Dokazati da je $\vec{MN}=\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{BC})$ .
Date su tri tačke $A, B$ i $C$ na pravoj $l$ i tačka $M$ izvan te prave. Ako jei $\vec{AB}=3\vec{AC}$ izrazi vektor $\vec{MC}$ vektorima $\vec{MA}$ i $\vec{MB}$ .
Srednja linija trougla paralelna je sa trećom stranicom i jednaka je njenoj polovini. Dokazati.
Neka su $\vec{i}$ i $\vec{j}$ linearno nezavisni vektori. Odredi broj $k$ tako da vektori $\vec{x}$ i $\vec{y}$ budu kolinearni, ako je: $\vec{x}=\vec{i}+k\vec{j}, \vec{y}=-2\vec{i}+3\vec{j}$
U ravni su dati vektori $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ . Konstruisati vektore $\vec{v_1}=2\vec{a}+\frac{3}{2}\vec{b}$ i $\vec{v_2}=\frac{3}{2}\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$ .

Translacija

Dati kvadrat ABCD preslikati translacijom za vektor $\overrightarrow{BA}$ .
Dati kvadrat ABCD preslikati translacijom za vektor $\overrightarrow{OC}$ , gde je tačka O presek dijagonala kvadrata.
Dati trougao ABC preslikati : a) translacijom za vektor $2\vec{a}$ ako je dat vektor $\vec{a}$ ; b) rotacijom oko tačke O za 60° ako tačka O ne pripada trouglu ABC.