Realni brojevi

Osobine realnih brojeva

  1. Neka je p prost broj, p>3.
    a) Odredi ostatak koji p^2 daje pri deljenju sa 3.
    b) Dokaži da je broj 8p^2+1 deljiv sa 3.
  2. Dokaži da broj n^2+1 nije deljiv sa 3 ni za jedan prirodan broj n.
  3. Dokaži da je \sqrt{3}-\sqrt{2} iracionalan broj.
  4. Ako su \alpha i \beta iracionalni brojevi, a \alpha +\beta racionalan, dokaži da su brojevi \alpha -\beta i \alpha +2\beta iracionalni.
  5. Napiši u obliku razlomka broj 0,\overline{142857}.
  6. Ako je a=2b=-\frac{1}{2}, x=-2, y=-\frac{3}{5} izračunaj vrednost izraza \frac{a-b}{x(y-2)}-\frac{2a+b}{y(x+1)}
  7. Odredi supremum skupa M=\left \{ 0,\frac{1}{4},\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}\cdots \right \}
  8. Ako su a,b \in \mathbb{Q} da li je broj a+b\sqrt{2} racionalan ili iracionalan? Dokaži tvrđenje.
  9. Odredi supremum skupa M=\left \{ 0,-\frac{1}{2},-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5}\cdots \right \}
  10. Nađi sve realne brojeve x takve da je \left | 3x-\frac{2}{3} \right |>\frac{4}{3}
  11. Bez upotrebe digitrona odredi između koja dva uzastopna cela broja se nalazi broj a=\frac{4}{\sqrt{5}-1}
  12. Napiši u obliku razlomka broj 0,15\overline{74}.

Približna vrednost, apsolutna i relativna greška

  1. a) Izračunaj apsolutnu, relativnu i procentualnu grešku ako je  x=3,25; x'=3.
    b) Zaokruži na jednu decimalu i izračunaj apsolutnu i relativnu grešku za brojeve a=1,115;4,225;3,125;9,997;0,002.
  2. a) Izračunaj apsolutnu i relativnu grešku i izrazi procentom relativnu grešku ako je  x=3,28 ; x'=3.
    b) Brojeve 3,25;  4,15;  3,251;  4,96;  0,03  zaokruži na jednu decimalu i izračunaj apsolutnu i relativnu grešku za svaki od njih.
  3. Dati broj   a=3,245  zaokruži na jednu decimalu i izračunaj apsolutnu i relativnu grešku.

Rešenja zadataka 1-3