Racionalni algebarski izrazi

Deljenje polinoma. Bezuov stav.

Odredi $p$ i $q$ tako da su oba polinoma $a(x)=x^3-x^2-2px+3q$ i $b(x)=qx^3-px^2+x+2$ deljivi sa $x-2$ .
Polinom $x^3+px^2+qx-3$ je deljiv sa $x+1$ , a pri deljenju sa $x-2$ daje ostatak $9$ . Odredi vrednost parametara $p$ i $q$ .
Podeli polinome: $(x^3-2x^2-4x-1):(x+1)$
Ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^6-2x^5-x^4-x^3+ax^2+bx+c$ polinomom $Q(x)=x^3-2x^2-x-2$ jednak je $x^2-x+1$ . Vrednost izraza $a+2b+3c$ :
a) $-15$ ; b) $-5$ ; c) $-4$ ; d) $5$ ; e) $25$ .
Ako je ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^5+x^4-x^3+2x^2+ax+b$ polinomom $Q(x)=x^2-x-2$ jednak 7, onda je $3a-5b$ :
a) $-11$ ; b) $-2$ ; c) $10$ ; d) $11$ ; e) $22$ .
Ako je ostatak pri deljnju polinoma $P(x)= x^6+x^5-2x^4-2x^3-4x^2+ax+b$ polinomom $Q(x)=x^2-4$ jednak 5, onda je $(b,a)=$ :
a) $(3,5)$ ; b) $(5,3)$ ; c) $(-11,-8)$ ; d) $(2,8)$ ; e) $(8,11)$ .
Ako je ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^5+x^4-x^3+2x^2+ax+b$ polinomom $Q(x)=(x-1)(x+2)$ jednak $2x+3$ , onda je $(a,b)$ jednako:
a) $(1,2)$ ; b) $(2,-1)$ ; c) $(1,1)$ ; d) $(3,-4)$ ; e) $(11,-2)$ .
Ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^6-x^5+2x^4-3x^3-2x$ , tada je $Q(x)=x^3-x^2-1$ jednako:
a) $-1$ ; b) $0$ ; c) $1$ ; d) $2$ ; e) $-2$ .
Ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^4$ polinomom $Q(x)=x^2-\sqrt{2}\cdot x+1$ jednak je:
a) $1$ ; b) $-1$ ; c) $2$ ; d) $-2$ ; e) $\sqrt{2}$ .
Ostatak deljenja polinoma $P(x)=2x^6+5x^5-x$ polinomom $Q(x)=2x^2-x-1$ je:
a) $x-1$ ; b) $-x+1$ ; c) $x+1$ ; d) $x-2$ ; e) $-x+2$ .
Dati su polinomi $A=x^2-5x+6, B=x-2, C=x+3$ . Odredi polinome $A:B, 2A-B\cdot C, B^2-C^3$ .
Podeli polinome i ostatak proveri Bezuovim stavom: $(5x^3-7x^2+9x-8):(x-2)$ .
Ako je polinom $x^{2n+1}+a_{n}x^{2n-1}+a_{n-1}x^{2n-3}+\cdots +a_{2}x^{3}+a_{1}x$ deljiv sa $x-1$ , dokazati da je deljiv sa $x^2-1$ .
Odredi koeficijente m i k tako da polinom $P(x)=x^3+2mx-kx+5$ daje jednake ostatke pri deljenju sa $x+1, x-1$ i $x-4$ .
Odredi q tako da polinom $x^3+2x^2-qx-(q+1)$ bude deljiv sa $x-2$ , a zatim polinom rastaviti na činioce.
Ako je polinom $x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+\cdots +a_{n-1}x^{2}+a_{n}$ deljiv sa $x-1$ , dokazati da je deljiv sa $x^2-1$ .
Razlika ostataka pri deljenju polinoma $P(x)=x^4+kx^2+2mx-3$ , (k i m su realni brojevi) sa $x-1$ i sa $x+1$ iznosi 8, a zbir tih ostataka je 2. Naći k i m.
Odredi p tako da polinom $x^3+px^2-5x-(2p+2)$ bude deljiv sa $x+1$ , a zatim polinom rastaviti na činioce.
Odredi ostatak pri deljenju polinoma $P(x)=x^{2000}-4x^{1998}+2$ sa polinomom $f(x)=x^2-2x$ .
Koristeći Bezuov stav rastavi na činioce sledeći polinom: $P(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24$ .
Razlika ostataka pri deljenju polinoma $P(x)=x^4+kx^2+2lx+24$ sa $x-1$ i $x+1$ iznosi 8, a zbir tih ostataka je 2. Nađi $k \text{i} l$ .
Koristeći Bezuov stav rastavi na činioce sledeći polinom: $P(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24$ .

Rešenja zadataka 4-22

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Uprosti izraz: $\frac{\frac{x-1}{3x+(x-1)^2}-\frac{1-3x+x^2}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{1-2x+x^2-2x^3}{1+2x+x^2+2x^3}}\cdot \frac{2x-1}{2x+1}$
Uprosti izraz: $\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}:\frac{xy}{x^3+y^3}+\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}\cdot (x-y)$
Uprosti izraz: $\frac{3}{x^2-4}-\frac{2}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2+4x+4}$
Uprosti izraz: $\frac{m+1}{m+2}+\frac{6m}{m^2-4}-\frac{2m-1}{m-2}$
Pomnoži polinome i uprosti izraz: $(2x^2-4x+1)(2x^2+x)-(x^4-2x^3-x)(3x+1)$
Uprosti izraze: a) $(x^3-2x^2-1)(2x^2-3x+1)$ ; b) $(2x^2-4x+1)(2x^2+x)+(x^4-2x^3-x)(3x+1)$ .
Uprosti izraz: $\left ( \frac{a}{a^2+2a+4} -\frac{a^2+8}{a^3-8}+\frac{1}{a-2}\right )\left ( \frac{a^2}{a^2-4}-\frac{2}{2-a} \right )$
Uprosti izraz: $\frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{3}{x^2-4}+\frac{2}{x^2-4x+2}$

Rastavljanje polinoma na činioce

Ako je $a+b+c=0$ , dokaži da važi: $a^2(b+c)^2+b^2(a+c)^2+c^2(a+b)^2+(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=0$
a) Rastavi na proste činioce polinom $a^4-6a^2-7a-6$ .
b) Ako je $b^2=\frac{a^2+c^2}{2}, \; a+b,\;b+c,\;a+c\neq 0$ , dokaži da je $\frac{1}{a+c}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b} \right )$
Rastavi polinome na činioce:
a) $15a^2x^3+10a^3x^2$ ;
b) $x^2-18x+81$ ;
c) $mn^2-9m$ .
Polinom $P(x)=4x^4+16x^3-31x^2-49x+30$ rastavi na proste činioce. (Rešenje je: $P(x)=(2x-1)(2x+3)(x-2)(x+5)$ )
Rastavi na proste činioce polinom $P(x)=2x^4-21x^3+67x^2-51x-45$ .
Rastaviti na proste činioce polinom $P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12$
Rastavi na činioce:
a) $ax+ay-bx-by$ ;
b) $x^2-4$ ;
c) $\frac{1}{8}-y^3$ .
Rastavi na činioce:
a) $(4a+2)^2-(3a-1)^2$ ;
b) $3x-3y+x^2-y^2$ .
Rastavi na činioce polinome:
a) $ax^2-bx^2-bx+ax-a+b$ ;
b) $36(x-2)^2-25(x+1)^2$ ;
c) $(a-2)^3+(a-1)^3$ ;
d) $a^6-a^4b^2+a^3b^3 -ab^5$ ;
e) $a^3-4a^2b-2+4ab^2- a$ ;
f) $x(x-1)(x+1)(x+2)+1$ .
Rastavi na činioce polinome:
a) $5ax^2-10ax-bx+2b-x+2$ ;
b) $9x^2-(x-1)^2$ ;
c) $(a+b)^3-27(a-b)^3$ ;
d) $a^3b^2-a^3+8b^2-8$ ;
e) $2x^2+2y^2-2+4xy$ ;
f) $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15$ .