Racionalni algebarski izrazi

Deljenje polinoma. Bezuov stav.

  1. Odredi p i q tako da su oba polinoma a(x)=x^3-x^2-2px+3q i b(x)=qx^3-px^2+x+2 deljivi sa x-2.
  2. Polinom x^3+px^2+qx-3 je deljiv sa x+1, a pri deljenju sa x-2 daje ostatak 9. Odredi vrednost parametara p i q.
  3. Podeli polinome: (x^3-2x^2-4x-1):(x+1)
  4. Ostatak pri deljenju polinoma P(x)=x^6-2x^5-x^4-x^3+ax^2+bx+c polinomom Q(x)=x^3-2x^2-x-2 jednak je x^2-x+1. Vrednost izraza a+2b+3c:
    a) -15;          b) -5;        c) -4;        d) 5;        e) 25.
  5. Ako je ostatak pri deljenju polinoma P(x)=x^5+x^4-x^3+2x^2+ax+b polinomom Q(x)=x^2-x-2 jednak 7, onda je 3a-5b:
    a) -11;          b) -2;         c) 10;         d) 11;         e) 22.
  6. Ako je ostatak pri deljnju polinoma  P(x)= x^6+x^5-2x^4-2x^3-4x^2+ax+b polinomom Q(x)=x^2-4 jednak 5, onda je (b,a)=:
    a) (3,5);          b) (5,3);         c) (-11,-8);         d) (2,8);         e) (8,11).
  7. Ako je ostatak pri deljenju polinoma P(x)=x^5+x^4-x^3+2x^2+ax+b polinomom Q(x)=(x-1)(x+2) jednak 2x+3, onda je (a,b) jednako:
    a) (1,2);          b) (2,-1);         c) (1,1);         d) (3,-4);         e) (11,-2).
  8. Ostatak pri deljenju polinoma P(x)=x^6-x^5+2x^4-3x^3-2x, tada je Q(x)=x^3-x^2-1 jednako:
    a) -1;          b) 0;         c) 1;         d) 2;         e) -2.
  9. Ostatak pri deljenju polinoma P(x)=x^4 polinomom Q(x)=x^2-\sqrt{2}\cdot x+1 jednak je:
    a) 1;          b) -1;        c) 2;        d) -2;        e) \sqrt{2}.
  10. Ostatak deljenja polinoma P(x)=2x^6+5x^5-x polinomom Q(x)=2x^2-x-1 je:
    a) x-1; b) -x+1; c) x+1; d) x-2; e) -x+2.
  11. Dati su polinomi A=x^2-5x+6, B=x-2, C=x+3. Odredi polinome  A:B, 2A-B\cdot C, B^2-C^3.
  12. Podeli polinome i ostatak proveri Bezuovim stavom: (5x^3-7x^2+9x-8):(x-2).
  13. Ako je polinom  x^{2n+1}+a_{n}x^{2n-1}+a_{n-1}x^{2n-3}+\cdots +a_{2}x^{3}+a_{1}x  deljiv sa  x-1,  dokazati da je deljiv sa  x^2-1.
  14. Odredi koeficijente m i k tako da polinom  P(x)=x^3+2mx-kx+5   daje jednake ostatke pri deljenju sa x+1, x-1  i  x-4.
  15. Odredi q tako da polinom  x^3+2x^2-qx-(q+1)  bude deljiv sa  x-2,  a zatim polinom rastaviti na činioce.
  16. Ako je polinom  x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+\cdots +a_{n-1}x^{2}+a_{n}  deljiv sa  x-1,  dokazati da je deljiv sa  x^2-1.
  17. Razlika ostataka pri deljenju polinoma P(x)=x^4+kx^2+2mx-3, (k i m su realni brojevi) sa  x-1  i sa   x+1   iznosi 8, a zbir tih ostataka je 2. Naći k i m.
  18. Odredi p tako da polinom  x^3+px^2-5x-(2p+2)  bude deljiv sa  x+1,  a zatim polinom rastaviti na činioce.
  19. Odredi ostatak pri deljenju polinoma P(x)=x^{2000}-4x^{1998}+2  sa polinomom  f(x)=x^2-2x.
  20. Koristeći Bezuov stav rastavi na činioce sledeći polinom: P(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24.
  21. Razlika ostataka pri deljenju polinoma P(x)=x^4+kx^2+2lx+24 sa x-1  i  x+1  iznosi 8, a zbir tih ostataka je 2. Nađi k \text{i} l.
  22. Koristeći Bezuov stav rastavi na činioce sledeći polinom: P(x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24.

Rešenja zadataka 4-22

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

  1. Uprosti izraz: \frac{\frac{x-1}{3x+(x-1)^2}-\frac{1-3x+x^2}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}}{\frac{1-2x+x^2-2x^3}{1+2x+x^2+2x^3}}\cdot \frac{2x-1}{2x+1}
  2. Uprosti izraz: \frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}:\frac{xy}{x^3+y^3}+\frac{1}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}\cdot (x-y)
  3. Uprosti izraz:\frac{3}{x^2-4}-\frac{2}{x^2-4x+4}-\frac{1}{x^2+4x+4}
  4. Uprosti izraz:\frac{m+1}{m+2}+\frac{6m}{m^2-4}-\frac{2m-1}{m-2}
  5. Pomnoži polinome i uprosti izraz: (2x^2-4x+1)(2x^2+x)-(x^4-2x^3-x)(3x+1)
  6. Uprosti izraze: a) (x^3-2x^2-1)(2x^2-3x+1); b) (2x^2-4x+1)(2x^2+x)+(x^4-2x^3-x)(3x+1).
  7. Uprosti izraz: \left ( \frac{a}{a^2+2a+4} -\frac{a^2+8}{a^3-8}+\frac{1}{a-2}\right )\left ( \frac{a^2}{a^2-4}-\frac{2}{2-a} \right )
  8. Uprosti izraz: \frac{1}{x^2+4x+4}-\frac{3}{x^2-4}+\frac{2}{x^2-4x+2}

Rastavljanje polinoma na činioce

  1. Ako je a+b+c=0, dokaži da važi: a^2(b+c)^2+b^2(a+c)^2+c^2(a+b)^2+(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=0
  2. a) Rastavi na proste činioce polinom a^4-6a^2-7a-6.
    b) Ako je b^2=\frac{a^2+c^2}{2}, \; a+b,\;b+c,\;a+c\neq 0, dokaži da je \frac{1}{a+c}=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b} \right )
  3. Rastavi polinome na činioce:
    a) 15a^2x^3+10a^3x^2;
    b) x^2-18x+81;
    c) mn^2-9m.
  4. Polinom P(x)=4x^4+16x^3-31x^2-49x+30 rastavi na proste činioce. (Rešenje je: P(x)=(2x-1)(2x+3)(x-2)(x+5))
  5. Rastavi na proste činioce polinom P(x)=2x^4-21x^3+67x^2-51x-45.
  6. Rastaviti na proste činioce polinom P(x)=x^4-2x^3-7x^2+8x+12
  7. Rastavi na činioce:
    a)  ax+ay-bx-by;
    b)  x^2-4;
    c)  \frac{1}{8}-y^3.
  8. Rastavi na činioce:
    a)  (4a+2)^2-(3a-1)^2;
    b)  3x-3y+x^2-y^2.
  9. Rastavi na činioce polinome:
    a) ax^2-bx^2-bx+ax-a+b;
    b) 36(x-2)^2-25(x+1)^2;
    c) (a-2)^3+(a-1)^3;
    d) a^6-a^4b^2+a^3b^3 -ab^5;
    e) a^3-4a^2b-2+4ab^2- a;
    f) x(x-1)(x+1)(x+2)+1.
  10. Rastavi na činioce polinome:
    a) 5ax^2-10ax-bx+2b-x+2;
    b) 9x^2-(x-1)^2;
    c) (a+b)^3-27(a-b)^3;
    d) a^3b^2-a^3+8b^2-8;
    e) 2x^2+2y^2-2+4xy;
    f) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15.

Rešenja zadataka 5-10

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s