Kvadratna jednačina

Rešavanje kvadratne jednačine

  1. Reši jednačinu: 2x^2-5x-3\left | x-2 \right |=0
  2. Reši jednačinu: \frac{x^2}{2}+\frac{18}{x^2}-11\left ( \frac{x}{2}+\frac{3}{x} \right )+20=0
  3. Ako za koeficijente a,b i c kvadratne jednačine ax^2+bx+c=0 važi 2b^2-9ac=0 dokaži da je odnos korena te jednačine jednak 2.
  4. Reši jednačine:
    a) (x+9)^2-(x+8)^2=(2x+4)^2+1
    b) \frac{4x}{x-1}-\frac{3x}{x+1}=\frac{2x^2+5x+1}{x^2-1}
  5. Reši jednačinu: \frac{2x-5}{x-11}+\frac{7-3x}{(x-6)^2+1}=\frac{x-4}{x-11}+\frac{(x-3)^2}{(x-6)^2+1}
  6. Reši jednačinu: \frac{x+1}{x^2-3x}+\frac{x}{2x^2-18}-\frac{2x-3}{x^2+3x}=\frac{18}{10x-30}
  7. Reši po x jednačinu (a i n su realni parametri): \frac{a}{nx-x}-\frac{a-1}{x^2-2nx^2+n^2x^2}=1.
  8. Reši jednačinu: \frac{2x-5}{x-11}+\frac{7-3x}{(x-6)^2+1}=\frac{x-4}{x-11}+\frac{(x-3)^2}{(x-6)^2+1}.
  9. Reši jednačinu: \left ( \frac{2x^2+1}{x} \right )^2-4\left (\frac{2x^2+1}{x}  \right )+3=0
  10. Reši po x jednačinu (a i b su realne konstante): \frac{\left ( \frac{a-x}{x} \right )^2-\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2}{x^2-2ax+a^2}=\frac{5}{9x^2}.
  11. Reši jednačinu: \frac{x(x+5)}{x^2-8x+12}+\frac{x+1}{x+7}=\frac{2x-2}{x+7}+\frac{12(x-1)}{x^2-8x+12}
  12. Reši jednačinu: 2\left ( \frac{x^2+1}{x} \right )^2-9\left (\frac{x^2+1}{x}  \right )+10=0
  13. Reši jednačinu po x (a, b su parametri): \frac{\left ( \frac{a-x}{x} \right )^2-\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2}{x^2-2ax+a^2}=\frac{5}{9x^2}.
  14. Reši jednačinu po x (a, n su parametri): \frac{a}{nx-x}-\frac{a-1}{x^2-2nx^2+n^2x^2}=1.

Rešenja zadataka 5-14

Vijetove formule

  1. Data je jednačina (a\neq -1,a\neq 2): (a^2-a-2)x^2+(2a^2-2a+5)x+a^2-a-2=0
    a) Dokaži da su koreni ove jednačine realni.
    b) Za koju vrednost parametra a je zbir korena jednačine najmanji?
  2. Kada se svakom korenu jednačine x^2+px+q=0 doda 1, dobijaju se koreni jednačine x^2-p^2x+pq=0. Odredi p i p.
  3. Data je jednačina x^2+px+q=0, p,q \in \mathbb{R}. Odredi p i q ako je razlika korena jednačine jednaka 5, a razlika njihovih kubova 35.
  4. U jednačini   (k-1)x^2+(k-5)x-(k+2)=0   odredi parametar k tako da je x_{1}^{2}+x_{2}^{2}<2.
  5. U jednačini   (k-1)x^2+(k-5)x-(k+2)=0   odredi k tako da je    \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}>2

Rešenja zadataka 4-5

Kvadratna funkcija

  1. Nacrtaj grafik funkcije: y=\left | x^2-\left | x \right | -2\right |
  2. Nacrtaj grafik funkcije y=\left | x^2-3x+2 \right |-\left | x-1 \right |
  3. a) Nacrtaj grafik funkcije f(x)=\left | x^2-2x-3 \right |+\left | x^2+2x-3 \right |.
    b) Reši jednačinu f(x)=\left | x^2-2x-3 \right |+\left | x^2+2x-3 \right |=4
  4. U funkciji  y=mx^2+(5-m)x +3m odredi parametar m tako da funkcija ima maksimum za x=-2, a zatim nacrtaj tu funkciju.
  5. Ispitaj tok i nacrtaj grafik funkcije  y=-\frac{1}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2\frac{1}{3}
  6. Ispitaj tok i nacrtaj grafik funkcije:   y=\frac{1}{2}x^2-2x+3.

Rešenja zadataka 5-6

Kvadratne nejednačine

  1. Odredi najmanji ceo broj a takav da nejednakost ax^2+4x-1+2a>0 važi za sve realne brojeve x.
  2. Odredi sve vrednosti realnog parametra a tako da nejednakost \left | \frac{x^2+(a+1)x+1}{x^2+x+1} \right |<3 važi za sve realne brojeve x.
  3. Reši nejednačinu: \left | x(1-x)\right |<0,05
  4. Reši nejednačinu: \frac{x^2-5x}{x^2-2x-3}<2
  5. Skup svih vrednosti realnog parametra a za koje je nejednačina \frac{x+a}{x^2+x+1}\geq \frac{x}{x^2+2x+3} tačna za svako x\in \mathbb{R} je:
    a) (-1,-\frac{1}{4});          b) [-1,-\frac{1}{4}];         c) (-1,\frac{1}{2}];         d) (-1,-\frac{1}{2}];         e) [\frac{1}{2},1].
  6. Skup svih vrednosti realnog parametra a za koje je nejednačina \frac{ax+3}{x^2-x+1}\leq 4 tačna za svako x\in \mathbb{R} je:
    a) (-4,4);          b) [-4,4];        c) [-8,0];        d) (-8,0);        e) [0,8].
  7. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine \frac{x^2-4x+13}{x^2-9}>\frac{1}{x-3}
    a) (3,5);          b) (-3,3);        c) (-\infty ,-3)\cup (3,+\infty );        d) (-\infty ,-3)\cup (3,5) \cup (5,+\infty );        e) \mathbb{R}.
  8. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine \frac{2x^2-5x+15}{x^2+9}\leq 1
    a) (-\infty ,2)\cup (3,+\infty );          b) (-\infty ,-2]\cup (3,+\infty );         c) [2,3];         d) (-3,2];         e) \mathbb{R}.
  9. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine \frac{15-5x}{x^2-9}\geq -1 ?
    a) (-\infty ,3)\cup (3,+\infty );          b) (-\infty ,-3] \cup [2,3)\cup (3,+\infty );        c) (-\infty ,-3) \cup [2,3)\cup (3,+\infty );        d)  (-3,2] \cup (3,+\infty );        e) (-\infty ,-3) \cup [2,+\infty ).
  10. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine -2<\frac{-x^2+5x-7}{x-4}\leq 1?
    a) [1,3); b) (1,3); c) [1,3]; d) (-\infty ,-1]\cup [3,+\infty ); e) (-\infty ,-1)\cup [3,+\infty ).
  11. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine \frac{x^2+1}{x-1}>\frac{1}{x}?
    a) [-1,1];          b) (-1,1);        c) (-\infty ,-1)\cup (0,1);        d)  (-1,0)\cup (1,+\infty );        e) \mathbb{R}.
  12. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine \frac{2x^2+x-13}{x^2-2x-3}\geq 1
    a) \left [ -5,-1 \right )\cup \left [ 2,3 \right );          b) \left ( -\infty ,-5 \right ]\cup (3,+\infty );        c) \left ( -\infty ,-5 \right ]\cup (-1,2]\cup (3,+\infty );        d) (-\infty ,-2]\cup (3,+\infty );        e) [-2,3].
  13. Koji skup je skup svih rešenja nejednačine \frac{x+2}{x-3}\geq 0
    a) \left \{ -2,3 \right \};          b) \left [ -2,3 \right ];         c) \left ( -\infty ,2 \right ]\cup (3,+\infty );         d) (-2,3);         e) \mathbb{R}.
  14. Odrediti vrednosti parametra k za koje je ispunjena nejednakost:
    \left | \frac{x^2+kx+1}{x^2+x+1} \right |<2.
  15. Za koje vrednosti realnog parametra a važe nejednačine za sve vrednosti promenljive x ?
    -3<\frac{x^2+ax-2}{x^2-x+1}<2
  16. Odredi vrednost parametra k za koju važi nejednakost:
    \left |\frac{x^2-kx+1}{x^2+x+1}  \right |<3
  17. Za koje vrednosti realnog parametra p nejednačina važi za sve vrednosti promenljive x ?
    -9<\frac{3x^2+px-6}{x^2-x+1}<6.

Rešenja zadataka 5-17

Bikvadratne jednačine

  1. Reši jednačinu: b^2x^4-(b^4+a^2)x^2+a^2b^2=0
  2. Reši jednačinu: x^4-\left ( a^2 +\frac{1}{a^2}\right )x^2+1=0.

Rešenja zadataka 1-2

Simetrične jednačine

  1. Reši jednačinu: (x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=297
  2. Odredi realna rešenja jednačine ax^4-x^3+a^2x-a=0, \; a\in \mathbb{R},\; a\neq 0
  3. Reši jednačinu: 2x^4-3x^3+2x^2-3x+2=0
  4. Odredi skup rešenja simetrične jednačine:  2x^3+3x^2-3x-2=0.
  5. Odredi skup rešenja simetrične jednačine: 12x^3-37x^2+37x-12=0.

Rešenja zadataka 4-5

Iracionalne jednačine

  1. Reši jednačinu: \sqrt{3+4\sqrt{6}-(16\sqrt{3}-8\sqrt{2})x}=4x-\sqrt{3}
  2. Reši jednačinu: \sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=3
  3. Reši jednačinu: 2x+\sqrt{x^2+5x+10}=8
  4. Reši jednačinu: 4+\sqrt{3x^2-20x+16}=x
  5. Reši jednačinu: \sqrt{2x+5}-\sqrt{x+2}=\sqrt{x-1}
  6. Zbir svih realnih rešenja jednačine (3+2\sqrt{2})^{2(x^2-7x+10)}+1=6(3+2\sqrt{2})^{x^2-7x+10} jednak je:
    a) 7;           b) 14;          c) 10;          d) -14;          e) -7.
  7. Koliko rešenja ima jednačina \sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}}+\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}=2?
    a) ima tačno jedno rešenje;
    b) ima tačno dva rešenja;
    c) ima tačno tri rešenja;
    d) ima beskonačno mnogo rešenja;
    e) nema rešenja.
  8. Data je jednačina \sqrt[3]{x+\sqrt{x^2-1}}+\sqrt[3]{x-\sqrt{x^2-1}}=1. Zaokruži tačan odgovor:
    a) Jednačina ima tri rešenja u intervalima (-\infty ,-1]\cup (1,+\infty );
    b) Jednačina ima samo jedno rešenje koje je u intervalu (-\infty ,-1];
    c) Jednačina ima samo jedno rešenje koje je u intervalu [1,+\infty );
    d) Jednačina ima dva realna negativna rešenja;
    e) Jednačina nema rešenja.
  9. Ako x zadovoljava jednačinu \sqrt[3]{x^-9}-\sqrt[3]{x-9}=3, onda x^2 pripada intervalu:
    a) (75,85);          b) (55,65);         c) (65,75);         d) (45,55);         e) (85,95).
  10. Broj rešenja jednačine \sqrt{3x+13}-\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+3}
    a) 0;          b) 1;        c) 2;        d) 3;        e) bar 4.
  11. Jednačina \sqrt{2x-14}-\sqrt{x-7}=\sqrt{x+5}
    a) ima dva realna pozitivna rešenja;
    b) ima dva realna rešenja od kojih je samo jedno pozitivno;
    c) ima samo jedno realno rešenje;
    d) ima četiri realna pozitivna rešenja;
    e) nema realnih rešenja.
  12. Jednačina \sqrt{3-x}-\sqrt{x-5}=1 a) nema rešenja;          b) ima tačno jedno rešenje;           c) ima više od tri rešenja;           d) ima tačno tri rešenja;           e) ima tačno dva rešenja.
  13. Jednačina \sqrt{x^2-10x+25}=x-5
    a) nema rešenja;          b) ima tačno jedno rešenje;        c) ima više od tri rešenja;        d) ima tačno tri rešenja;        e) ima tačno dva rešenja.
  14. Odredi skup rešenja jednačine: \sqrt{2x+14}-\sqrt{x-7}=\sqrt{x+5}.
  15. Odredi skup rešenja jednačine: 3\sqrt{x-2}-2\sqrt{x-5}=\sqrt{3x-2}

Rešenja zadataka 6-15

Iracionalne nejednačine

  1. Reši nejednačinu: \sqrt{\frac{7x-1}{x}}>\frac{x-1}{x}
  2. Skup svih vrednosti x za koje je tačna nejednačina \sqrt{x+2}>4-x
    a) [-2,2);          b) (2,+\infty );        c) (-2,4);        d) (2,7);        e) (-\infty ,2)\cup (7,+\infty ).
  3. Nejednakost x+1>\sqrt{5-x} je tačna ako i samo ako je:
    a) 1<x \leq 5;          b) x<2 ili x>1;        c) -2<x<1;        d) -1<x \leq 5;        e) x<-2.

Rešenja zadataka 2-3

Kvadratne jednačine sa parametrima

  1. Reši jednačinu: 1-\frac{2b}{x-a}=\frac{a^2-b^2}{a^2+x^2-2ax};\; a,b\in \mathbb{R}
  2. Za koje vrednosti parametra m će izraz (m-2)x^2-2mx+m-1 biti stalno negativan?
  3. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje je jedno rešenje jednačine 4x^2-15x+\frac{m^3}{2}=0 kvadrat drugog, je:
    a) \left \{ -3,5 \right \};           b) \left [ -5,3 \right ];          c) \left \{ -5,3 \right \};          d) \left \{ -5 \right \};          e) \left \{ 3 \right \}.
  4. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje je zbir kvadrata rešenja jednačine (m+1)x^2-2mx+m-1=0 jednak broju \frac{10}{9} je: a) \left ( -\infty , -\frac{1}{2} \right ] \cup (2,+\infty );          b) \left ( \frac{1}{2},2 \right );        c) \left \{ \frac{1}{2},2 \right \};        d) \left \{ 2,-\frac{1}{2} \right \};        e) \mathbb{R}.
  5. Skup svih vrednosti realnog parametra m takvih da jednačina x^2+mx+m+x=0 ima rešenja koja zadovoljavaju uslov x_1^3+x_2^3=-1 je: a) \left \{ 0,5 \right \};          b) (-5,4);        c) \left \{ 0 \right \};        d) \left \{ 2 \right \};        e) \left \{5 \right \}.
  6. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje su rešenja jednačine x^2+2x+m+3=0 negativna je: a) (-\infty ,-3 ]\cup (2,+\infty );          b) (-5,4);         c) (-3,2 ];         d) [2,3);         e) \mathbb{R}.
  7. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje rešenja jednačine x^2+2(m+1)x+m=0 zadovoljavaju uslov \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}>8 je:
    a) \left ( -\infty ,-\frac{1}{2}  \right ]\cup \left [ 2,\infty  \right );           b) (-\frac{1}{4},4 );          c)  ( -\frac{1}{2},0 )\cup (0,2);          d)  ( \frac{1}{2},2 );          e) \mathbb{R}.
  8. Za koju vrednost realnog parametra m je zbir kvadrata rešenja jednačine x^2-(2m-1)x-4m-3=0
    a) m=-\frac{15}{2};          b) m=-\frac{9}{2};         c) m=-\frac{1}{2};         d) m=-\frac{9}{10};         e) m=\frac{1}{2}.
  9. Skup svih vrednosti realnog parametra  m za koje jednačina 2x^2+(2m-4)x+m^2-4m+2=0 ima realna rešenja je: a) \left ( -\infty ,0 \right ]\cup \left [ 2,\infty  \right );          b) ( -\infty ,0)\cup ( 2,\infty);         c) \left [ 0,4 \right ];         d) (0,2);         e) \mathbb{R}.
  10. U zavisnosti od realnog parametra k diskutovati rešenja jednačine 2x^2+(2k-8)x+k^2-6k+8=0
  11. U zavisnosti od realnog parametra  k diskutovati rešenja jednačine kx^2-2(k+3)x+k+4=0
  12. U zavisnosti od realnog parametra  k diskutovati rešenja jednačine x^2-2x+k+3=0

Rešenja zadataka 3-12

Sistemi kvadratnih jednačina

  1. Reši sistem jednačina: \begin{matrix} x & +\sqrt{xy} & +y & =14\\ x^2 & +xy & +y^2 & =84 \end{matrix}
  2. Proizvod svih x koordinata rešenja sistema
    \begin{matrix}  \left | x \right |^{x+y} & = & y^{x-y}\\  x^2y& = & 1  \end{matrix}
    je:
    a) \sqrt[3]{3};          b) -\frac{1}{\sqrt[3]{3}};         c) \frac{1}{\sqrt[3]{3}};         d) 1;         e) -3.
  3. Koliko rešenja ima sistem:
    \begin{matrix}  \left | x+y \right |+\left | x-y \right | & = & 6\\  3x+4y& = & 9  \end{matrix}
    a) 2;          b) 1;         c) 0;         d) 3;         e) 4.
  4. Koliko rešenja ima sistem
    \begin{matrix}  \left | x+1 \right | +\left | y-1 \right |& = & 5\\  \left | x+1 \right |-4y& = & -4  \end{matrix}
    a) 0;           b) 1;          c) 2;          d) 4;          e) 3.
  5. Za kakvu vrednost parametra a rešenje (x,y) sistema
    \begin{matrix}  2x-y& = &a \\  ax+2y& = &0  \end{matrix}
    zadovoljava uslov ax+y \geq 2?
    a)  a\in (-4,-2]\cup [4,+\infty );           b) a\in (-4,2];         c) a\in [-2,4];         d) a \in(-2,-1);         e) a \in (1,3).
  6. Koliko rešenja ima sistem jednačina
    \begin{matrix}  x+y+z & = &14 \\  x+yz& = & 19  \end{matrix}
    u skupu celih brojeva?
    a) 4; b) između 6 i 10; c) 0; d) više od 10, ali konačno mnogo; e) beskonačno mnogo.
  7. Koliko rešenja u skupu prirodnih brojeva \mathbb{N} ima sistem
    \begin{matrix}  \left | x \right | +\left | y \right |& = &0 \\  max(\left | x \right |,\left | y \right |)& = & 0  \end{matrix}
    a) 0;          b) 1;        c) 2;        d) 4;        e) 3.
  8. Da bi sistem
    \begin{matrix}  x^2+y^2-12x-8y+44 & = &0 \\  x-y+n& = & 0  \end{matrix}
    imao realna i različita rešenja mora važiti:
    a) n\in (-\infty ,-6)\cup (2,+\infty );          b) n\in \mathbb{R};         c) n\in \left \{ -6,2 \right \};         d) n\in (-6,2);         e) n\in [-6,2].
  9. Dat je sistem:
    \begin{matrix}  a &+b  &+c  &=  &5 \\  ab & +bc & +ca & = & 8  \end{matrix}
    Ako su a,b\in \mathbb{R} onda važi:
    a) a,b,c\in \left ( \frac{4}{3},\frac{8}{3} \right );          b) tačno jedan od a,b,c je veći od 2 i tačno jedan je manji od 2;         c) a,b,c\in \left ( 1,\frac{7}{3} \right );         d) tačno jedan od a,b,c\in (1,2 );         e) a^2+b^2+c^2<9.
  10. Koliko iznosi zbir svih koordinata x rešenja sistema
    \begin{matrix}  \frac{x+y}{x-y} & +\frac{x-y}{x+y} & = &\frac{26}{5} \\  & xy & = & 6  \end{matrix}
    a) 5;          b) i;         c) 0;         d) 6+6i;         e) -3-3i.
  11. Koliko realnih rešenja ima sistem:
    \begin{matrix}  2x^2 & -3xy &+y^2 &= & 12 \\  x^2&+3xy &-2y^2 &= & -13  \end{matrix}
    a) 3;          b) 1;         c) 2;         d) 4;         e) 0.
  12. Koliko iznosi zbir svih y koordinata rešenja sistema
    \begin{matrix}  x^2 &+ y &=5 \\  x^4&+ y^2 &=17  \end{matrix}
    a) 10;          b) 4;        c) 0;        d) 5;        e) 2.
  13. Koliko rešenja ima sistem jednačina u skupu realnih brojeva?
    \begin{matrix}  x^2 &-xy &+y^2 &=7 \\  & x^3& +y^3 &=35  \end{matrix}
    a) 1;          b) beskonačno mnogo;         c) 3;         d) 4;         e) 2.
  14. Koliko realnih rešenja ima sistem:
    \begin{matrix}  x^2 &-5xy &+6y^2 &= &0 \\  2x^2 &-3xy & +3y^2 & =& 20  \end{matrix}
    a) 0;          b) 1;         c) 2;         d) 4;         e) 3.

Rešenja zadataka 2-14

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s