Logaritamska i eksponencijalna funkcija

Eksponencijalne jednačine

  1. a) Reši jednačinu: 5^x-3^{x+1}=2(5^{x-1}-3^{x-2})
    b) Reši nejednačinu: (2-\sqrt{3})^{\frac{2-x}{x}}\leq (2+\sqrt{3})^{-x}
  2. Reši jednačine:
    a) 16^{\frac{1}{x}}=4^{\frac{x}{2}}
    b)  2^{3x-2}-2^{3x-3}-2^{3x-4}=4
    c) 10^{\frac{2}{x}}+25^{\frac{1}{x}}=4,25\cdot 50^{\frac{1}{x}}
  3. Reši jednačinu: \sqrt[3]{\frac{x+3}{x-4}}+\sqrt[3]{\frac{x-4}{x+3}}=\frac{5}{2}
  4. Reši jednačine:
    a) 9^{-3x}=\left ( \frac{1}{27} \right )^{x+3}
    b) 2\cdot 3^{x+1}-4\cdot 3^{x-2}=450
    c) 20^x-6\cdot 5^x+10^x=0
  5. Reši jednačinu: \sqrt[5]{\frac{16x}{x-1}}+\sqrt[5]{\frac{x-1}{16x}}=2,5
  6. Reši jednačine:
    a) 7\cdot 3^{x+1}-5^{x+2}=3^{x+4}-5^{x+3}
    b) 49^x-8\cdot 7^x+7=0
  7. Proizvod svih realnih rešenja jednačine (5-2\sqrt{6})^{x^2-4x+4}+(5+2\sqrt{6})^{x^2-4x+4}=10 je:
    a) -3;          b) 1;         c) 3;         d) 4;         e) 6.
  8. Ako je (x,y),x\in \mathbb{R},y\in \mathbb{R} rešenje sistema jednačina 4\cdot 4^x=8^y\wedge 2\cdot 2^y=2^x, onda je proizvod x\cdot y jednak:
    a) 12;          b) 20;         c) 25;         d) 21;         e) 16.
  9. Ako je 3^{x+2}+9^{x+1}=810 i x\in \mathbb{R}, tada x pripada intervalu:
    a) (4,+\infty );          b) (3,4];        c) (2,3];        d) (1,2];        e) [-2,2).
  10. Proizvod kvadrata rešenja jednačine 4^x-6\cdot 2^x+8=0 jednak je:
    a) 0,5;          b) 4;        c) 2;        d) \frac{1}{4};        e) 5.

Rešenja zadataka 8-10

Eksponencijalne nejednačine

  1. Reši nejednačine:
    a) 0,5^{3x+4}>0,5^{5x-1}
    b) 25^x<6 \cdot 5^x-5
  2. Reši nejednačine:
    a) 0,1^{2x-3}<0,1^{3x+2}
    b) 5^{2x+1}>5^x+4
  3. Reši nejednačine:
    a) \left ( \frac{1}{5} \right )^{x^2-3}\leq 25
    b) 2^{\frac{5x+2}{1-x}}\leq \frac{1}{16}
  4. Skup realnih vrednosti za x za koje je tačna nejednakost 7^{1+x}+7^{1-x}<50 je:
    a) (-\infty ,+\infty );          b) (-\infty ,-1];        c) (-1,1);        d) [1,+\infty );        e) (-2,2).

Rešenje zadatka 4

Logaritamske jednačine

  1. Reši jednačinu: 5^{\frac{x}{\sqrt{x}+2}}\cdot 0,2^{\frac{4}{\sqrt{x}+2}}=125^{x-4}\cdot 0,04^{x-2}
  2. Reši jednačine:
    a) \log(5-x)+2\log\sqrt{3-x}=1
    b) \log_{x}3+\log_{3}x=\log_{\sqrt{x}}3+\log_{3}\sqrt{x} +\frac{1}{2}
  3. Reši jednačine:
    a) \log_2(x-1)+\log_2(x+2)=2
    b) 5\log_{\frac{x}{9}}x+\log_{\frac{9}{x}}x^3+8\log_{9x^2}x^2=2
    c) x^{\log x}=16(6x^{\log \sqrt{x}}+25)
  4. Rešenje jednačine \log_3(3-2\cdot 3^{x+1})=2+2x
    a) [-8,-4];          b) [-4,0];         c) [0,4];         d) [4,8];         e) [8,12].
  5. Proizvod kvadrata svih rešenja jednačine 3^{(\log_3x)^2}+x^{\log_3x}=162  je:
    a) 9;          b) 81;        c) \frac{1}{9};        d) \frac{1}{81};        e) 1.
  6. Zbir svih rešenja jednačine x^{1+\log_2x}=4 je:
    a) \frac{9}{4};          b) \frac{1}{3};         c) \frac{1}{4};         d) 1;         e) 2.
  7. Ako je 10^{2\log 3}=8x+5, tada je x jednako:
    a) 0;          b) \frac{5}{8};        c) \frac{1}{2};        d) \frac{9}{8};        e) \frac{1}{8}(\log 9-5).

Rešenja zadataka 4-7

Logaritamske nejednačine

  1. a) Reši jednačinu: \log_{3}x+\log _{x}9=3
    b) Reši nejednačinu: \sqrt{\log_{10}x }\geq \log_{10}\sqrt{x}
  2. Reši nejednačinu: \log_{0,5}(x^2+1)<\log_{0,5}(2x-5)
  3. Reši nejednačine:
    a) \log_{0,5}(x-0,5)+\log_{0,5}(x-1)\geq 1
    b) 0,6^{\log_{0,5}\log_{5}\frac{5x+4}{x^2+3}}>1
  4. Rešenja nejednačine \log_{\frac{1}{9}}(x^2-4)\geq \log_{\frac{1}{9}}(2\left | x \right |-1) su intervali:
    a) [-1,3);          b) (-\infty ,-2)\cup (2,+\infty );        c) [3,+\infty );        d) (-4,-3]\cup [3,4);        e) [-3,-2)\cup (2,3].
  5. Skup realnih vrednosti x za koje je tačna nejednačina \log_{2x}(x^2+1)<1 je:
    a) (0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},1);          b) (0,\frac{1}{2});        c) (0,\frac{1}{2})\cup (\frac{1}{2},+\infty );        d) (1,+\infty );        e) (0,1).
  6. Skup realnih vrednosti x za koje je tačna nejednačina \log_x2<1 je:
    a) (2,+\infty );           b) (0,1)\cup(2,+\infty );         c) (1,+\infty );         d) (1,2 );         e) (0,1)\cup(1,2).

Rešenja zadataka 4-6

Logaritamski izrazi

  1. a) Ako je \log_23=a i \log_52=b, odredi \log_{24}50.
    b) Uprosti izraz: \frac{1-\log _{\frac{1}{a}}\frac{1}{(a-b)^2}+\log_a^2(a-b) }{(1-\log_{\sqrt{a}}(a-b)+\log_a^2(a-b))^{\frac{1}{2}}},\: \: \; 0<b<a<1
  2. a) Ako su a i b dužine kateta, a c dužina hipotenuze nekog pravouglog trougla, dokaži da važi: \log_{c+b}a+\log_{c-b}a=2\log_{c+b}a\cdot \log_{c-b}a
    b) Izračunaj: 8^{\log_{2}\sqrt[3]{128^{-1}}+\frac{5}{3} }
  3. Ako je \log_{10}3=a i \log_{10}11=b, izrazi \log_{9}2,97 preko a i b.
  4. Logaritmuj izraz: \frac{8a^4\sqrt{b}}{c^3\sqrt[3]{17}}
  5. Izračunaj vrednost izraza: \log_381\cdot \log_3\frac{1}{27}\cdot \log_{\frac{1}{2}}16\cdot \log_{\frac{1}{2}}8
  6. Ako je \log_72=c i \log_75=d, izrazi \log_{70}2,5 preko c i d.
  7. Izrazi V iz izraza: \log V -2\log r=\log \pi +\log H
  8. Logaritmuj izraz: \frac{3a^2b}{c^2\sqrt[4]{de^3}}
  9. Izračunaj vrednost izraza: \frac{5}{4}\log_381+3\log_{\frac{1}{2}}16-2\log_{2}\frac{1}{32}+\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}
  10. Ako je \log_32=a, tada je \log_218 jednak:
    a) \frac{a+1}{a};          b) \frac{a}{a+1};         c) \frac{a+2}{a};         d) a+1;         e) a-1.
  11. Ako je \log_37=a,\log_32=b, tada je (\log_27+\log_72)^{-1} jednako:
    a) \frac{a^2-b^2}{ab};          b) \frac{a^2+b^2}{ab};          c) \frac{ab}{a^2+b^2};          d) \frac{2a+7b}{3ab};          e) \frac{7a+2b}{ab}.
  12. Vrednost izraza \log_{\frac{1}{9}}(\log_2\frac{1}{2}\cdot \log_{\frac{1}{2}}8) je:
    a) \frac{1}{3};          b) -\frac{1}{3};        c) -\frac{1}{2};        d) \frac{1}{2};        e) \log_{\frac{1}{2}}4.
  13. Vrednost izraza 4^{\log_23+\log_4\frac{5}{11}} je
    a) \frac{22}{15};          b) \frac{15}{22};        c) \frac{45}{11};        d) \frac{10}{33};        e) \frac{33}{10}.

Rešenja zadataka 10-13

Složeniji zadaci sa logaritmom

  1. a) Reši jednačinu: \frac{2}{\log_2x}-3=\log_x2\cdot \log_2\left ( \frac{3x}{2}+\frac{5}{x} \right )
    b) Reši nejednačinu:\log_{x^2-1}\left | x \right |>0
  2. Za koje vrednosti realnog parametra m je funkcija f(x)=\left ( \log_{\frac{1}{2}}\frac{x^2+(m-3)x+1}{2x^2-5x+5} \right )^{-\frac{1}{2}} definisana za svako realno x:
    a) -6<m<5;          b) za svako realno m;        c) 1<m<2;        d) -6<m<2;        e) ni za jedno m.
  3. Date su dunkcije f_1(x)=e^{\ln x},   f_2(x)=\ln (e^x),   f_3(x)=\sqrt{x^2}   i  f_4(x)=\frac{x^2}{2}. Tačan je iskaz:
    a) f_1=f_2=f_3\neq f_4;           b) među datim funkcijama nema jednakih;          c) f_1\neq f_2=f_3=f_4;          d) f_1=f_4\neq f_2=f_3;          e) f_2=f_4\neq f_1=f_3.
  4. Date su funkcije: f_1(x)=2\log_2x,   f_2(x)=\log_2x^2,   f_3(x)=2\log_2\left | x \right | i    f_4(x)=\frac{2}{\log_x2}
    a) sve su funkcije međusobom jednake;          b) među datim funkcijama nema jednakih;        c) f_1=f_2=f_3\neq f_4;        d) f_1=f_4\neq f_2=f_3;        e) f_1\neq f_2=f_3\neq f_4.
  5. Ako je \log_{k}x+\log_{n}x=2\log_{m}x onda je n^2=(kn)^{\log_{k}m} za sve vrednosti x,m,n,k>0; x,m,n,k \neq 1. Dokaži.
  6. Izračunaj zbir: S=\log_{2}a\cdot \log_{4}a+\log_{4}a\cdot \log_{8}a+ \cdots +\log_{2^{n-1}}a\cdot \log_{2^n}a

Rešenja zadataka 2-6

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s