Trigonometrija

Vrednost trigonometrijskog izraza

  1. Dokaži jednakosti:
    a) \frac{\cos 64^{\circ}\cos 4^{\circ}-\cos 86^{\circ}\cos 26^{\circ}}{\cos 71^{\circ}\cos 41^{\circ}-\cos 49^{\circ}\cos 19^{\circ}}=-1
    b) \cot 10^{\circ}\cot 50^{\circ}\cot 70^{\circ}=\cot 30^{\circ}
  2. Ako je \tan \alpha=m, odredi vrednost izraza: \sin ^2\left ( \frac{\pi }{4}+\alpha \right )-\sin ^2\left ( \frac{\pi }{6}-\alpha \right )-\cos \frac{5\pi }{12}\cdot \sin \left ( \frac{5\pi }{12}-\alpha \right )
  3. Vrednost izraza \frac{\sin 750^{\circ}\cdot \cos 390^{\circ}\cdot \tan 1140^{\circ}}{\cot 405^{\circ}\cdot \sin 1860^{\circ}\cdot \cos 780^{\circ}} je:
    a) \sqrt{3};          b) \frac{\sqrt{3}}{2};          c) -\sqrt{3};          d) \frac{2}{\sqrt{3}};          e) 1.
  4. Proizvod (1-\sin \frac{\pi }{8})(1+\sin \frac{\pi }{8}) jednak je:
    a) \frac{\sqrt{2}-2}{4};          b) \frac{\sqrt{2}+2}{4};          c) \frac{\sqrt{2}}{8};          d) \frac{1}{4};          e) \frac{2\sqrt{2}}{3}.
  5. Vrednost \sin \frac{\pi }{12} je:
    a) \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2};          b) \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2};          c) \frac{\sqrt{3}}{4};          d) \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2};          e) \frac{\sqrt{2}}{4}.
  6. Vrednost \cos \frac{5 \pi}{8} je:
    a) -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2};           b) \frac{1}{4};           c) \frac{\sqrt{2}}{4};           d) \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2};           e) \frac{1}{2}.
  7. Vrednost izraza \sqrt[4]{2}\cos \frac{\pi }{8} je:
    a) \frac{1}{\sqrt{2(\sqrt{2}+1)}};          b) \frac{1}{\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}};          c) \frac{\sqrt{2(\sqrt{2}-1)}}{2};          d) \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{4};          e) \frac{\sqrt{2}+1}{4}.
  8. Vrednost izraza 2\sin 60^{\circ}+2\cos 30^{\circ}-3\tan 30^{\circ} je:
    a) \sqrt{3};          b) -\sqrt{3};          c) \frac{1}{\sqrt{3}};          d) 2\sqrt{3};          e) 2-\sqrt{3}.

Rešenja zadataka 3-8

Svođenje trigonometrijskih funcija na I kvandrant

  1. Vrednost izraza \frac{\tan 10^{\circ}\sin 80^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} identički je jednak izrazu:
    a) -\frac{1+\sqrt{3}}{4};          b) \frac{1+\sqrt{3}}{4};          c) \frac{1}{4};          d) -\frac{1}{4};          e) 1.
  2. Ako je \sin 1994^{\circ}=a, \tan 1994^{\circ}=b, \cot 1994^{\circ}=c onda je:
    a) a>b>c;          b) b>a>c;          c) b>c>a;          d) c>b>a;          e) c>a>b.
  3. Proizvod \tan 1^{\circ}\tan 2^{\circ}\cdots \tan 88^{\circ}\tan 89^{\circ} ima vrednost:
    a) \sqrt{3};          b) \frac{\sqrt{3}}{3};          c) 1;          d) -\sqrt{3};          e) 2.
  4. Vrednost izraza \frac{\cos \frac{7\pi }{6}\cdot \cos \frac{7\pi }{3}\cdot \tan \frac{7\pi }{4} }{\cot \frac{10\pi }{3}\cdot \cos \frac{7\pi }{4}\cdot \sin \frac{8\pi }{3}} je:
    a) \frac{\sqrt{6}}{3};          b) \frac{\sqrt{6}}{2};          c) -\frac{\sqrt{6}}{3};          d) \frac{\sqrt{6}}{6};          e) -\frac{\sqrt{6}}{2}.

Rešenja zadataka 1-4

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

  1. Ako je \alpha \in \left ( \pi ,\frac{3\pi }{2} \right )\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3} onda je \sin 2\alpha jednako:
    a) -\frac{4\sqrt{2}}{9};           b) -\frac{2\sqrt{2}}{9};          c) \frac{1}{3};          d) -\frac{1}{3};          e) \frac{4\sqrt{2}}{9}.
  2. Ako je \tan \alpha =-2, \alpha \in \left ( \frac{\pi }{2}, \pi  \right ) tada \sin \alpha i \cos \alpha iznose redom:
    a) -\frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}};           b) -\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}};          c) \frac{2}{\sqrt{5}}, -\frac{1}{\sqrt{5}};          d) \frac{1}{\sqrt{5}}, -\frac{2}{\sqrt{5}};          e) -\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}.
  3. Izraz \frac{2\sin x-\sin 2x}{2\sin x+\sin 2x} identički je jednak izrazu:
    a) \tan ^2\frac{x}{2};          b) \tan x;          c) \cot x;          d) \tan 2x;          e) \cot ^2 \frac{x}{2}.
  4. Vrednost izraza \sin 18^{\circ}\cos 36^{\circ} je:
    a) \frac{\sqrt{5}}{4};          b) \frac{1}{8};          c) \frac{\sqrt{5}-1}{8};          d) \frac{\sqrt{5}+1}{16};          e) \frac{1}{4}.
  5. Vrednost izraza \cos \frac{\pi }{5}\cdot \cos \frac{2\pi }{5} je:
    a) \frac{1}{16};          b) \frac{1}{2};          c) \frac{1}{3};          d) \frac{\sqrt{3}}{16};          e) \frac{1}{4}.

Rešenja zadataka 1-5

Pretvaranje zbira i razlike u proizvod i obratno

  1. Ako je \alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}, dokaži jednakost: \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin \frac{\pi -2\alpha }{4}\sin \frac{\pi -2\beta }{4}\sin \frac{\pi -2\gamma }{4}

Složeniji trigonometrijski izrazi

  1. Izračunaj vrednost izraza: \cos \frac{\pi }{33}\cos \frac{2\pi }{33}\cos \frac{4\pi }{33}\cos \frac{8\pi }{33}\cos \frac{16\pi }{33}
  2. Ako je \sin 2\alpha =\frac{2}{3} izračunaj vrednost izraza: \sin ^4\alpha +\cos ^4\alpha
  3. Dokaži da za uglove \alpha, \beta, \gamma proizvoljnog trougla važi: \frac{\sin \alpha +\sin\beta + \sin \gamma }{\sin \alpha +\sin\beta - \sin \gamma }=\cot \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}
  4. Ako je \sin \alpha +\sin \beta =2\sin (\alpha +\beta ),\; \alpha +\beta \neq 2k\pi (k\in Z), odredi \tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}
  5. Zbir \tan 9^{\circ}+\tan 81^{\circ}+\tan 117^{\circ}+\tan 153^{\circ} je jednak:
    a) -\frac{13\sqrt{3}}{5};          b) -3;         c) 1;         d) 4;         e) 3\sqrt{3}.
  6. Ako je \sin \alpha +\sin \beta =1,\cos \alpha +\cos \beta =\sqrt{2} onda je \cos (\alpha -\beta ) jednako:
    a) \frac{1}{2};          b) 2;         c) 3;         d) \frac{1}{3};         e) 1.
  7. Date su funkcije f_1(x)=1, f_2(x)=\tan \frac{x}{2}\cot \frac{x}{2},f_3(x)\text{ i }f_4(x)=\frac{\sqrt{1+\cos 2x}}{\left | \sqrt{2}\cos x \right |}
    a) Sve funkcije su međusobno jednake;
    b) Među datim funkcijama nema međusobno jednakih;
    c) f_1\neq f_2 = f_3 \neq f_4\neq f_1;
    d) f_1\neq f_2 = f_3 =f_4;
    e) f_1\neq f_3 = f_4 \neq f_2 \neq f_1.
  8. Neka su \alpha i \beta oštri uglovi takvi da su \tan \alpha =\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} i \tan \beta =\frac{1}{\sqrt{2}}. Razlika \alpha - \beta tih uglova je:
    a) \frac{\pi }{6};           b) \frac{\pi }{8};          c) \frac{\pi }{12};          d) \frac{\pi }{4};          e) \frac{\pi }{3}.
  9. Ako je \cos x+\cos y=a, \sin x+\sin y=b, a^2+b^2\neq 0 ionda je \cos (x+y):
    a) \frac{2ab}{a^2+b^2};          b) \frac{a-b}{a^2+b^2};          c) \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2};          d) -\frac{a-b}{a^2+b^2};           e) \frac{a+b}{a^2+b^2}.
  10. Vrednost izraza 4\cos 2000^{\circ}-\frac{1}{\sin 1990^{\circ}} je:
    a) -2;          b) \frac{\sqrt{3}}{2};          c) -1;          d) 2;          e) \frac{1}{2}.
  11. Vrednost proizvoda \cos \frac{\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}\cos \frac{5\pi }{7} jednaka je:
    a) \frac{1}{4};          b) \frac{\sqrt{2}}{8};          c) \frac{1}{8};          d) \frac{\sqrt{2}}{16};          e) \frac{1}{16}.
  12. Vrednost proizvoda \sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 80^{\circ} je:
    a) \frac{\sqrt{3}}{2};          b) \frac{\sqrt{3}}{4};          c) \frac{\sqrt{3}}{8};          d) \frac{1}{2};          e) \frac{1}{4}.
  13. Vrednost izraza \tan 20^{\circ}\tan 40^{\circ}\tan 60^{\circ}\tan 80^{\circ} je:
    a) 3;           b) 2;           c) 6;           d) 2\sqrt{3};           e) 4\sqrt{3}.
  14. Vrednost izraza \frac{1}{\sin 10^{\circ}}-4\sin 70^{\circ} je:
    a) -2;          b) 2;          c) 4;          d) -4;          e) 1.
  15. Vrednost izraza \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}-\frac{1}{\sin 10^{\circ}} je:
    a) 2(\sqrt{3}-1);          b) -2;          c) -4;          d) 4;          e) 2.
  16. Ako je \tan x=3 tada \cos 2x pripada intervalu:
    a) \left ( -1,\frac{9}{10} \right );          b) \left ( -\frac{9}{10}, -\frac{8}{10} \right );          c) \left [ -\frac{19}{20},-\frac{17}{20} \right ];          d) \left [ -\frac{8}{10},-\frac{7}{10} \right ];          e) \left [ \frac{3}{5},1 \right ].
  17. Vrednost izraza \cos ^2x+\cos ^2(\frac{2\pi }{3}+x)+\cos ^2(\frac{2\pi }{3}-x) jednaka je:
    a) \frac{3}{2};          b) \frac{3}{4};         c) 3;         d) \frac{2}{3};         e) \frac{4}{3}.
  18. Izraz \sin ^6x+\cos ^6x identički je jednak izrazu:
    a) \cos 6x+\sin 6x;          b) \frac{5+\cos 4x}{6};          c) \frac{7+\cos 4x}{8};          d) \frac{5+3\cos 4x}{8};          e) \frac{3+2\cos 4x}{4}.
  19. Izraz \sin ^4x+\cos ^4x identički je jednak izrazu:
    a) \frac{3-\cos 4x}{4};          b) \sin 4x+\cos 4x;          c) 1;          d) \frac{1-2\cos 4x}{2};          e) \frac{3+\cos 4x}{4}.
  20. Izraz \frac{\cos ^3x+\sin ^3x}{2-\sin 2x} identički je jednak izrazu:
    a) \frac{1}{\sqrt{2}}\cos (x-\frac{\pi }{4});          b) \cos x+\sin x;          c) \frac{1}{\sqrt{2}}\cos (x+\frac{\pi }{4});          d) 2\sin (x-\frac{\pi }{4});          e) 1.

Rešenja zadataka 5-20

Sinusna i kosinusna teorema

  1. U jednom trouglu važi \cos \alpha =\frac{3}{5}, b=a+1 i c=b+1. Izračunaj dužinu stranice a i \tan \frac{\beta }{2}.
  2. Dužine stranica trougla ABC su: AB=c,AC=b,BC=a. Ako je ugao \alpha kod temena A dva puta veći od ugla \beta kod temena B, onda je:
    a) a^2=b(b+c);          b) a^2=c(b+c);         c) a=2b;         d) b=2a;         e) c=\frac{a+b}{2}.
  3. U oštrouglom trouglu date su stranice a=1,b=2 i površina P=\frac{12}{13}. Zbir kvadrata sinusa uglova trougla je:
    a) \frac{134}{65};          b) \frac{352}{169};        c) \frac{1868}{845};        d) \frac{28}{13};        e) \frac{88}{39}.
  4. Ako je u trouglu ABC ugao kod temena A dva puta veći od ugla kod temena B, a stranice AC=2, AB=3 tada je stranica BC jednaka:
    a) 3;          b) 2\sqrt{3};         c) 2\sqrt{2};         d) \sqrt{10};         e) \frac{10}{3}.
  5. Površina trougla ABC je 6\sqrt{3}cm^2. Ako su dužine stranica AC=7cm,BC=3cm i ako je ugao kod temena C tup, onda je dužina stranice AB jednaka (u cm):
    a) 8;          b) 7;        c) 12;        d) 6;        e) 16.
  6. Ako za stranice a,b i c važi a-b=5cm,c=7cm i ako je ugao naspram stranice c jednak 60^{\circ} onda je a+b:
    a) 10cm;          b) 15cm;        c) 11cm;        d) 12cm;        e) 14cm.
  7. Dužine stranica (u cm) datog trougla su a-2,a,a+2, a jedan ugao ima meru 120^{\circ}. Površina tog trougla (u cm^2) je:
    a) 7,5;          b) 8;         c) \frac{15\sqrt{3}}{4};       d)\frac{5\sqrt{3}}{4};         e) \frac{15\sqrt{3}}{2}.

Rešenja zadataka 2-7

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s