Analitička geometrija

Tačka

  1. Dat je trougao ABC: A=(1,8),B=(-5,-4),C=(7,0). Odredi na stranicama AB i AC koordinate tačaka M i N takve da je MN\parallel BC i P_{\triangle AMN}=\frac{1}{2}P_{\triangle ABC}.
  2. Ako je T=(x,y), težište trougla čija su temena A=(-2,3), B=(4,1) i C=(4,5) onda je y-x jednako:
    a) 2;          b) 0;         c) 1;         d) 3;         e) -1.
  3. Ako je A=(\alpha,1), \alpha >0 teme pravog ugla pravouglog trougla čija su druga dva temena B=(3,-1) i C=(-2,-2) onda je \alpha jednako:
    a) -1;           b) 1;         c) 3;         d) -2;         e) 4.
  4. Odrediti dužine težišnih linija (medijana) trougla čija su temena A(2, -1), B(-1, 4), C(-2, 2).
  5. Odrediti dužine težišnih duži trougla čija su temena A =(1, 1), B= (5, 3), C= (3, -3).

Rešenja zadataka 2-5

Prava

  1. U trouglu ABC teme B ima koordinate (-1,1), visina h_a pripada pravoj x+y-6=0, a težišna duž t_a pravoj 2x+y-7=0. Odredi dužinu stranice BC i ugao između te stranice i težišne duži t_a.
  2. Kroz tačku M=(-3,1) konstruisane su dve prave tako da je odstojanje tačke N=(1,3) do njh jednako \sqrt{2}. Odredi jednačine tih pravih.
  3. Rastojanje tačke C=(1,1) od prave koja prolazi kroz tačke A=(-2,5)B=(2,2) je:
    a) 7;          b) 5;        c) \frac{5}{7};        d) \frac{7}{5};        e) \frac{7}{\sqrt{5}}.
  4. Jednačina prave koja sadrži presek pravih x+y-2=0 i x-y=0 a paralelna je pravoj x+3y+2=0:
    a) x-2y+3=0;          b) 2x+y+4=0;         c) x+3y-4=0;         d) 3x+2y+5=0;         e) y-x=0.
  5. Jednačina prave koja sadrži tačku A=(3,-2 i sa osom Ox gradi ugao \alpha =145^{\circ} je:
    a) y=x;          b) y=-x+1;        c) y+2x=0;        d) 2x+3y+2=0;        e) y=-x-5.
  6. Ako je M=(x,y) tačka na pravoj 2x+y-6=0 koja je podjednako udaljena od tačaka A=(3,5) i B=(2,6), onda je x+y jednako:
    a) 2; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6.
  7. Data su temena trougla A=(-1,1), B=(2,5), C=(7,-5). Odredi:
    a) jednačine pravih kojima pripadaju stranice AB, BC, AC;
    b) jednačine pravih kojima pripadaju težišnie duži ta, tb, tc;
    c) dužine težišnih duži ta, tb, tc.
  8. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih x-3y+2=0 i 5x+6y-4=0 i paralelna je pravoj 4x+y+7=0.
  9. Na pravoj   x-2y+8=0   odredi tačku koja je podjednako udaljena od tačke A=(8,3) i od prave   3x+4y-11=0 .
  10. Date su tačke M_{1}=(-1,2), M_{2}=(5,1) i M=(0,7) . Odredi jednačinu prave M1M2 i jednačinu prave p koja prolazi kroz tačku M i paralelna je pravoj M1M2.
  11. Odredi jednačinu prave p koja prolazi kroz presečnu tačku pravih   2x+y-3=0    i    3x-2y-1=0   i kroz tačku M=(3,-2).  Nacrtaj sliku.
  12. Date su jednačine dveju paralelnih stranica pravougaonika:  5x+2y-7=0   i   5x+2y-36=0 , i jednačina jedne dijagonale:  3x+7y-10=0 . Odredi jednačine ostalih stranica pravougaonika, druge dijagonale, i koordinate temena pravougaonika.
  13. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih 3x-y+4=0  i   x-6y+3=0 i normalna je na pravu  5x+2y+6=0.
  14. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku A=(7, -4) i paralelna je sa pravom  p: 9x+7y-25=0.
  15. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih x-3y+2=0 i 5x+6y-4=0 i paralelna je pravoj 4x+y+7=0.
  16. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku A=(1, 2) i normalna je na pravu p: 2x+3y-1=0.

Rešenja zadataka 3-16

Kružnica

  1. Odredi jednačinu kruga koji sadrži tačke preseka krugova x^2+y^2-13x-y+30=0 i x^2+y^2-6x-2y-15=0, a središte mu pripada pravoj 3x-10y-30=0.
  2. Jednačina tangente kružnice x^2+y^2-2x+4y-13=0 u tački A=(-2,1) je:
    a) y=x+3;           b) y=-x+2;         c) y=-x-3;         d) y=x-3;         e) y=2x.
  3. Jednačina kružnice koja sadrži tačke A=(3,-8) i B=(-7,2), a centar joj pripada pravoj 4x+y+16=0 je:
    a) x^2+y^2=4;          b) (x+3)^2+(y+4)^2=52;         c) (x+3)^2+(y+4)^2=56;         d) x^2+(y+4)^2=5;         e) (x+3)^2+y^2=5.
  4. Odredi jednačinu kružnice koja sadrži tačke M=(10,9) i N=(4,3)  a centar joj pripada pravoj 2x-3y+19=0.
  5. Odredi jednačinu kružnice koja sadrži tačku M=(-6,2) i dodiruje y-osu u tački P=(0,4).
  6. Odrediti jednačine tangenti konstruisanih iz tačke M(1, 1) na kružnicu k: x^2 +y^2 +2y=0.
  7. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar u preseku pravih l: 2x-3y+4=0  i  m: x-y+1=0, tako da kružnica sadrži tačku M(5, 2).
  8. Izračunati rastojanje preseka pravih m: 2x-y=3  i  n: x-2y=0 od centra kruga  (x-6)^2+(y-4)^2=9.

Rešenja zadataka 2-8

Elipsa

  1. Tačka elipse $latex $ koja je najbliža pravoj 2x-3y+25=0 je:
    a) M=(3,2);           b) M=(3,-2);          c) M=(-3,2);          d) M=(-3,-2);          e) M=(2,3).
  2. Jednačine tangenti elipse x^2+4y^2=20 koje su normalne na pravu 2x-2y-13=0 su:
    a) x-y-5=0,x-y+5=0;          b) x+y-5=0,x+y+5=0;        c) 2x+y+1=0,2x+y-1=0;        d) x-2y+3=0,x-2y-3=0;        e) 2x-y+4=0,2x-y-4=0.
  3. Kroz tačku N=(1,1) konstruisana je tetiva elipse  4x^2+9y^2=36   koja je tom tačkom prepolovljena. Odredi jednačinu prave kojoj pripada ta tetiva.
  4. Odredi ugao pod kojim se vidi elipsa  3x^2+y^2=48  iz tačke   P=(8,0).
  5. Odredi jednačinu elipse koja dodiruje pravu x+4y-10=0 u tački M=(2,y).

Rešenja zadataka 1-5

Hiperbola

  1. Jednačina tangente hiperbole 3x^2-y^2=3 u njenoj tački M=(x,3), x>0 je:
    a) y=2x-1;          b) y=3x+1;        c) y=x+2;        d) y=2x+1;        e) y=3x-1.
  2. Prava  x-\sqrt{2}y+2=0  seče hiperbolu  3x^2-2y^2=12. Odredi površinu trougla kojeg grade data prava i tangente u presečnim tačkama prave i hiperbole.
  3. Data je elipsa čija je jednačina  \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1. Odredi jednačinu hiperbole čija se temena nalaze u žižama, a žiže u temenima elipse.
  4. Data je elipsa čija je jednačina  \frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{17}=1. Odredi jednačinu konfokalne hiperbole čije su asimptote  y=\pm \frac{x\sqrt{3}}{3}.

Rešenja zadataka 1-4

Parabola

  1. Prava paralelna pravoj x-2y-3=0, koja sadrži tačku M=(4,6), seče parabolu x^2=8y. Hađi jednačinu kruga opisanog oko trougla čije stranice određuju pomenuta prava i tangente parabole u tačkama u kojima ta prava seče parabolu.
  2. Odredi minimalno rastojanje prave 4x+3y+46=0 i parabole y^2=64x.
  3. Jednačina tangente na parabolu y^2=8x koja je normalna na pravu 2x+2y+3=0 je:
    a) y=x+2;           b) y=-x-2;          c) y=x-2;          d) y+x=0;          e) y-x=0.

Rešenje zadatka 3

Primena analitičke geometrije

  1. U trouglu ABC data su temena A=(-13,0) i B=(13,0). Ako za uglove \alpha i \beta na stranici AB važi \tan \alpha \cdot \tan \beta =-\frac{1}{13}, odredi geometrijsko mesto temena C.
  2. Date su tačke A=(-2,0) i B=(2,0). Tačke C i D pripadaju normalama u tačkama A, odnosno B, na duž AB, pri čemu je ugao COD prav. Odredi geometrijsko mesto preseka pravih AD i BC.
  3. Najkraće rastojanje krive k:\; x^2+y^2-4x-2y+1=0 i prave p:\; x-y+3=3 je:
    a) 2(\sqrt{2}-1);           b) \frac{5}{4};         c) \sqrt{2};         d) 1;         e) \frac{\sqrt{3}}{2}.
  4. Odredi vrednost realnog parametra a za koji sistem:
    \begin{matrix}  x^2+y^2 & = &4(a-2) \\  (x-y)^2 & = & 4  \end{matrix}
    ima tačno dva rešenja.
    a) a\in (0,1);          b) a\in (1,2);         c) a\in (2,3);         d) a\in (3,4);         e) ne postoji takvo a.
  5. Za kakve vrednosti realnog parametra a sistem
    \begin{matrix}  x^2+y^2 & = & 8\\  y& = & ax+4  \end{matrix}
    ima tačno jedno rešenje?
    a) a\in \left \{ -1,1 \right \};          b) a\in [-1,1];         c) a\in (-1,1);         d) a=0;         e) a\in \mathbb{R}.
  6. Dat je trougao ABC tako da je A(0,1), B(-2, 5), C(4,9). Odrediti:
    a) jednačinu stranice AB
    b) jednačinu težišne duži tb
    c) jednačinu visine hc
    d) ugao α
    e) površinu trougla ABC
  7. Date su jednačine težišnih linija  4x+5y=0   i    x-3y=0 , i jedno teme trougla (2,-5). Odredi jednačine stranica trougla i koordinate druga dva temena trougla.
  8. Odrediti površinu i jednačinu visine trrougla čija su temena A=(-2, 3), B=(8, -2), C=(3, 8).
  9. Odrediti površinu i dužinu jedne visine trougla čija su temena A=(-3, -3), B=(3, 5), C=(3,-3).
  10. Kroz tačku M=(-1,1) postavi pravu tako da sredina njenog odsečka između paralelnih pravih    x+2y-1=0    i    x+2y-3=0 pripada pravoj   x-y-1=0 .

Rešenja zadataka 3-10

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s