ПочетакDeterminante

Determinante

16 јуна, 2016 veljovic III godina

Izračunavanje determinante

Dokazati jednakost: $\begin{vmatrix} x & y & z\\ a & b & c\\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} bcx & cay & abz\\ 1 & 1 & 1\\ a & b & c \end{vmatrix}$
Koristeći elementarne transformacije bez izračunavanja vrednosti determinante dokaži da je $\begin{vmatrix} 1 & a & a^2\\ a & a^2 & a^4\\ 1 & a^3 & a^6 \end{vmatrix}=a^4(a+1)(a-1)^3$
Koristeći elementarne transformacije bez izračunavanja vrednosti determinante dokaži da je $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ x & y & z\\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}=(x-y)(y-z)(z-x)$
Koristeći elementarne transformacije bez izračunavanja vrednosti determinante dokaži da je $\begin{vmatrix} y+z & z+x & x+y\\ x & y & z\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=0$

Sistemi linearnih jednačina

Dat je sistem jednačina ( $k,b\in \mathbb{R}$ ): $\begin{matrix} x &+y &+z &=3 \\ x &+ky &+z &=4 \\ x& -y &+z &=b \end{matrix}$
a) Odredi vrednost parametra $k$ tako da dati sistem nema jedinstveno rešenje.
b) Za dobijenu vrednost parametra $k$ odredi $b$ tako da sistem ima rešenje.
c) U slučaju da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, odredi ta rešenja.
Reši sistem jednačina ( $a\in \mathbb{R}$ ): $\begin{matrix} ax & +ay & +5z &=-a \\ ax &+y &+10z &=-4a-1 \\ &(a-1)y &+(a-3)z & =a+1 \end{matrix}$
Za koju vrednost realnog parametra $a$ sistem jednačina $\begin{matrix} 2x& -y & +z &+t &=0 \\ x& +2y &-z &+4t &=2 \\ x& +7y & -4z &+11t &=a \end{matrix}$ ima rešenja?
Reši sistem jednačina $k\in \mathbb{R}$ : $\begin{matrix}x &+y &+z &=0 \\ kx &+4y &+z &=0 \\ 6x& +(k+2)y &+2z & =0 \end{matrix}$
Odredi vrednosti realnog paramerta $a$ za koje sistem jednačina $\begin{matrix} x &+y &-z &+4t & = &0 \\ 2x &+3y & +z & +5t & = &0 \\ 3x &+4y & -4z & +at & = &0 \\ x &+2y & +az & +t & = &0 \end{matrix}$ ima netrivijalna rešenja i nađi ta rešenja.
Reši sistem jednačina ( $a\in \mathbb{R}$ ): $\begin{matrix} 2x &+ay &+z &=2 \\ 3x &+3y & +(a-1)z &=1 \\ 5x &+3y &+4z &=-1 \end{matrix}$
Reši sistem jednačina: $\left\{\begin{matrix} 2x & -y & -3z &=-2 \\ x& +2y &-4z &=-1 \\ 3x& +y &+2z & =6 \end{matrix}\right.$
Reši sistem jednačina u zavisnosti od parametra $a$ : $\left\{\begin{matrix} x & +2y & -2z &=3 \\ x& +y &-z &=0 \\ 3x& -2y &+az & =3 \end{matrix}\right.$
Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem $\mathbb{R}$ , za razne vrednosti parametra $\alpha \in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} 2x_1 & -x_2 & +x_3 &=-1 \\ x_1 & +2x_2 & -3x_3 &= 8\\ \alpha x_1 & +x_2 & -2x_3 &= 7 \end{matrix}\right.$
Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem $\mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} x &+2y &-3z &=-2 \\ 2x&+1y &+1z &=3 \\ 3x &+3y &-2z &=7 \end{matrix}\right.$
Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem $\mathbb{R}$ , za razne vrednosti parametra $b \in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} bx & +4y & +z &=5 \\ 6x & +(b+2)y &+2z &=13 \\ x &+y &+z &=6 \end{matrix}\right.$
Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem $\mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} x &+y &+2z &=1 \\ 2x&+2y &+4z &=2 \\ -3x &-3y &-6z &=-3 \end{matrix}\right.$
Primenom Kramerovog pravila rešiti sistem jednačina nad poljem $\mathbb{R}$ , za razne vrednosti parametra $a \in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} ax & +y & +z &=1 \\ x & +ay & +2z &=2 \\ 2x & +y & +z & =0 \end{matrix}\right.$
Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem $\mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} 2x & -y & +3z &=1 \\ x & +2y & -z &=1 \\ 4x & +3y & +z & =3 \end{matrix}\right.$
Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem $\mathbb{R}$ , za razne vrednosti parametra $a \in \mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} x_1 & +x_2 & +x_3 &=6 \\ ax_1 & +4x_2 & +x_3 &=5 \\ 6x_1 & +(a+2)x_2 & +2x_3 & =13 \end{matrix}\right.$
Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem $\mathbb{R}$ : $\left\{\begin{matrix} 2x_1 & -x_2 & +3x_3 &=9 \\ 3x_1 & -5x_2 & +x_3 &=-4 \\ 4x_1 & -7x_2 & +x_3 & =5 \end{matrix}\right.$
a) Reši sistem jednačina: $x+2y+3z=1\wedge 2x+4y-6z=-2\wedge -x+2y+6z=4$ ;
b) Metodom suprotnih koeficijenata reši sistem jednačina: $3x+2y=-5\wedge 4x+3y=-7$ ;
c) Metodom zemene reši sistem jednačina: $2x+y=3\wedge 3x-y=2$ .
Koristeći dve različite metode reši sistem jednačina: $2x+y=-1 \wedge -x-2y=11$ .
U zavisnosti od realnog parametra a rešiti sistem i diskutovati rešenja:
$\begin{matrix} ax &+y &+z &=1 \\ x &+ay &+z &=a \\ x &+y &+az & =a^2 \end{matrix}$
U zavisnosti od realnog parametra m rešiti sistem i diskutovati rešenja:
$\begin{matrix} x &-y &-mz &=1 \\ mx &+3y &+3z &=-1 \\ mx &+y &+mz & =1-m \end{matrix}$
Reši sistem jednačina:
$\begin{matrix} 3x &-2y &+z &=0 \\ 5x& & +4z & =-5\\ 2x &-y & & =4 \end{matrix}$
Reši sistem jednačina:
$\begin{matrix} 2x &+3y &-z &=3 \\ x&+y & +2z & =3\\ 3x &-2y &-4z & =-11 \end{matrix}$

Rešenja zadataka 16-21

Vektori u ravni i prostoru

Dati su vektori $\overrightarrow{a}=(m-1,1,m+1),\overrightarrow{b}=(2,3,1)$ i $\overrightarrow{c}=(1,3,2)$ . Odredi $m$ tako da vektor $\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ bude normalan na vektor $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ i za tako dobijenu vrednost parametra $m$ odredi zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{c}$ .
Odredi kosinus ugla između vektora $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ ako su vektori $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$ a takođe i vektori $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ i $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ uzajamno ortogonalni.
Dati su vektori $\overrightarrow{a}=(1,0,4),\overrightarrow{b}=(1,-1,-2)$ i $\overrightarrow{c}=(0,1,-3)$ . Izračunaj: a) $(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})\cdot ((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}))$
b) $(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b})$
Dati su vektori $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}+3\overrightarrow{n},\overrightarrow{b}=7\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{m}-4\overrightarrow{n}$ i $\overrightarrow{d}=7\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}$ . Ako je $\overrightarrow{m}\perp \overrightarrow{n}$ i $\overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{d}$ :
a) dokaži da je $\left | \overrightarrow{m} \right |=\left | \overrightarrow{n} \right |$ ;
b) odredi ugao između vektora $\overrightarrow{m}$ i $\overrightarrow{n}$ .
Dokaži da za sve vektore $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ važi: $\left [ \left ( \vec{a}+\vec{b} \right )\times \left ( \vec{b}+\vec{c} \right ) \right ]\cdot (\vec{c}+\vec{d})=2\vec{c}\cdot (\vec{b}\times \vec{d})$
Dati su vektori $\vec{a}=3\vec{m}+2\vec{n}-\vec{p}$ i $\vec{b}=\vec{m}-2\vec{n}+2\vec{p}$ gde je $\left | \vec{m} \right |=2, \left | \vec{n} \right |=3,\sphericalangle (\vec{m},\vec{n})=\sphericalangle (\vec{n},\vec{p})=\sphericalangle (\vec{m},\vec{p})=\frac{\pi }{2}$ . Nađi $\vec{}$ , $\vec{}$ i površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima $\vec{a}$ i $\vec{b}$ .
Vektori $\overrightarrow{AB}=(3,-2,2)$ , i $\overrightarrow{BC}=(-1,0,-2)$ pripadaju dvema susednim stranicama paralelograma. Odredi ugao između dijagonala AB i CD.
Da li tačke $A(1,2,-1), B(0,1,5), C(-1,2,1), D(2,1,3)$ pripadaju jednoj ravni?
Odredi realan broj p tako da vektor $\vec{a}=2p\vec{i}+\vec{j}+(1-p)\vec{k}$ gradi jednake uglove sa vektorima $\vec{b}=-\vec{i}+3\vec{j} \text{ i } \vec{c}=5\vec{i}-\vec{j}+8\vec{k}$ .
Odredi vektor $\vec{v}$ , ako je $\vec{v}\cdot \vec{a}=1, \vec{v}\cdot \vec{b}=2, \vec{v}\cdot \vec{c}=3$ i ako su vektori $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ dati koordinatama: $\vec{a}=(2,-4,3),\vec{b}=(3,-1,5),\vec{c}=(1,-2,4)$ .
Izračunaj površinu trougla čija su temena $A(1,1,1), B(2,2,2) C(4,3,5)$ .
Tačke $A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6), D(2,3,8)$ su temena piramide. Odredi zapreminu piramide i visinu koja odgovara ravni osnove $\bigtriangleup ABC$ .

Rešenja zadataka 7-12

Оставите одговор Одустани од одговора

Унесите свој коментар овде...

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

Е-пошта (обавезно) (Address never made public)

Име (обавезно)

Веб место

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. ( Одјавите се / Промени )

Коментаришет користећи свој Google налог. ( Одјавите се / Промени )

Коментаришет користећи свој Twitter налог. ( Одјавите се / Промени )

Коментаришет користећи свој Facebook налог. ( Одјавите се / Промени )

Одустани

Повезивање са %s

%d bloggers like this: