Determinante

Izračunavanje determinante

  1. Dokazati jednakost: \begin{vmatrix}  x & y & z\\  a & b & c\\  a^2 & b^2 & c^2  \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}  bcx & cay & abz\\  1 & 1 & 1\\  a & b & c  \end{vmatrix}
  2. Koristeći elementarne transformacije bez izračunavanja vrednosti determinante dokaži da je \begin{vmatrix}  1 & a & a^2\\  a & a^2 & a^4\\  1 & a^3 & a^6  \end{vmatrix}=a^4(a+1)(a-1)^3
  3. Koristeći elementarne transformacije bez izračunavanja vrednosti determinante dokaži da je \begin{vmatrix}  1 & 1 & 1\\  x & y & z\\  x^2 & y^2 & z^2  \end{vmatrix}=(x-y)(y-z)(z-x)
  4. Koristeći elementarne transformacije bez izračunavanja vrednosti determinante dokaži da je \begin{vmatrix}  y+z & z+x & x+y\\  x & y & z\\  1 & 1 & 1  \end{vmatrix}=0

Sistemi linearnih jednačina

  1. Dat je sistem jednačina (k,b\in \mathbb{R}): \begin{matrix} x &+y &+z &=3 \\ x &+ky &+z &=4 \\ x& -y &+z &=b \end{matrix}
    a) Odredi vrednost parametra k tako da dati sistem nema jedinstveno rešenje.
    b) Za dobijenu vrednost parametra k odredi b tako da sistem ima rešenje.
    c) U slučaju da sistem ima beskonačno mnogo rešenja, odredi ta rešenja.
  2. Reši sistem jednačina (a\in \mathbb{R}): \begin{matrix} ax & +ay & +5z &=-a \\ ax &+y &+10z &=-4a-1 \\ &(a-1)y &+(a-3)z & =a+1 \end{matrix}
  3. Za koju vrednost realnog parametra a sistem jednačina \begin{matrix} 2x& -y & +z &+t &=0 \\ x& +2y &-z &+4t &=2 \\ x& +7y & -4z &+11t &=a \end{matrix} ima rešenja?
  4. Reši sistem jednačina k\in \mathbb{R}: \begin{matrix}x &+y &+z &=0 \\ kx &+4y &+z &=0 \\ 6x& +(k+2)y &+2z & =0 \end{matrix}
  5. Odredi vrednosti realnog paramerta a za koje sistem jednačina \begin{matrix} x &+y &-z &+4t & = &0 \\ 2x &+3y & +z & +5t & = &0 \\ 3x &+4y & -4z & +at & = &0 \\ x &+2y & +az & +t & = &0 \end{matrix} ima netrivijalna rešenja i nađi ta rešenja.
  6. Reši sistem jednačina (a\in \mathbb{R}): \begin{matrix} 2x &+ay &+z &=2 \\ 3x &+3y & +(a-1)z &=1 \\ 5x &+3y &+4z &=-1 \end{matrix}
  7. Reši sistem jednačina: \left\{\begin{matrix} 2x & -y & -3z &=-2 \\ x& +2y &-4z &=-1 \\ 3x& +y &+2z & =6 \end{matrix}\right.
  8. Reši sistem jednačina u zavisnosti od parametra a: \left\{\begin{matrix} x & +2y & -2z &=3 \\ x& +y &-z &=0 \\ 3x& -2y &+az & =3 \end{matrix}\right.
  9. Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem \mathbb{R}, za razne vrednosti parametra \alpha \in \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  2x_1 & -x_2 & +x_3 &=-1 \\  x_1 & +2x_2 & -3x_3 &= 8\\  \alpha x_1 & +x_2 & -2x_3 &= 7  \end{matrix}\right.
  10. Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  x &+2y &-3z &=-2 \\  2x&+1y &+1z &=3 \\  3x &+3y &-2z &=7  \end{matrix}\right.
  11. Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem \mathbb{R}, za razne vrednosti parametra b \in \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  bx & +4y & +z &=5 \\  6x & +(b+2)y &+2z &=13 \\  x &+y &+z &=6  \end{matrix}\right.
  12. Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  x &+y &+2z &=1 \\  2x&+2y &+4z &=2 \\  -3x &-3y &-6z &=-3  \end{matrix}\right.
  13. Primenom Kramerovog pravila rešiti sistem jednačina nad poljem \mathbb{R}, za razne vrednosti parametra a \in \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  ax & +y & +z &=1 \\  x & +ay & +2z &=2 \\  2x & +y & +z & =0  \end{matrix}\right.
  14. Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  2x & -y & +3z &=1 \\  x & +2y & -z &=1 \\  4x & +3y & +z & =3  \end{matrix}\right.
  15. Primenom Kramerovog pravila reši sistem jednačina nad poljem \mathbb{R}, za razne vrednosti parametra a \in \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  x_1 & +x_2 & +x_3 &=6 \\  ax_1 & +4x_2 & +x_3 &=5 \\  6x_1 & +(a+2)x_2 & +2x_3 & =13  \end{matrix}\right.
  16. Gausovim postupkom reši sistem jednačina na poljem \mathbb{R}: \left\{\begin{matrix}  2x_1 & -x_2 & +3x_3 &=9 \\  3x_1 & -5x_2 & +x_3 &=-4 \\  4x_1 & -7x_2 & +x_3 & =5  \end{matrix}\right.
    a) Reši sistem jednačina:   x+2y+3z=1\wedge 2x+4y-6z=-2\wedge -x+2y+6z=4;
    b) Metodom suprotnih koeficijenata reši sistem jednačina:  3x+2y=-5\wedge 4x+3y=-7;
    c) Metodom zemene reši sistem jednačina:  2x+y=3\wedge 3x-y=2.
  17. Koristeći dve različite metode reši sistem jednačina: 2x+y=-1 \wedge -x-2y=11.
  18. U zavisnosti od realnog parametra a rešiti sistem i diskutovati rešenja:
    \begin{matrix}  ax &+y  &+z  &=1 \\  x &+ay  &+z  &=a \\  x &+y &+az & =a^2  \end{matrix}
  19. U zavisnosti od realnog parametra m rešiti sistem i diskutovati rešenja:
    \begin{matrix}  x &-y  &-mz  &=1 \\  mx &+3y  &+3z  &=-1 \\  mx &+y &+mz & =1-m  \end{matrix}
  20. Reši sistem jednačina:
    \begin{matrix}  3x &-2y  &+z  &=0 \\  5x&  & +4z & =-5\\  2x &-y &  & =4  \end{matrix}
  21. Reši sistem jednačina:
    \begin{matrix}  2x &+3y  &-z  &=3 \\  x&+y  & +2z & =3\\  3x &-2y &-4z  & =-11  \end{matrix}

Rešenja zadataka 16-21

Vektori u ravni i prostoru

  1. Dati su vektori \overrightarrow{a}=(m-1,1,m+1),\overrightarrow{b}=(2,3,1) i \overrightarrow{c}=(1,3,2). Odredi m tako da vektor \overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}) bude normalan na vektor \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} i za tako dobijenu vrednost parametra m odredi zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} i \overrightarrow{c}.
  2. Odredi kosinus ugla između vektora \overrightarrow{a} i \overrightarrow{b} ako su vektori 2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} i \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} a takođe i vektori 2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} i \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} uzajamno ortogonalni.
  3. Dati su vektori \overrightarrow{a}=(1,0,4),\overrightarrow{b}=(1,-1,-2) i \overrightarrow{c}=(0,1,-3). Izračunaj: a) (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})\cdot ((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\times (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}))
    b) (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c})\times \overrightarrow{b})
  4. Dati su vektori \overrightarrow{a}=\overrightarrow{m}+3\overrightarrow{n},\overrightarrow{b}=7\overrightarrow{m}-5\overrightarrow{n},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{m}-4\overrightarrow{n} i \overrightarrow{d}=7\overrightarrow{m}-2\overrightarrow{n}. Ako je \overrightarrow{m}\perp \overrightarrow{n} i \overrightarrow{c}\perp \overrightarrow{d}:
    a) dokaži da je \left | \overrightarrow{m} \right |=\left | \overrightarrow{n} \right |;
    b) odredi ugao između vektora \overrightarrow{m} i \overrightarrow{n}.
  5. Dokaži da za sve vektore \vec{a},\vec{b},\vec{c} važi: \left [ \left ( \vec{a}+\vec{b} \right )\times \left ( \vec{b}+\vec{c} \right ) \right ]\cdot (\vec{c}+\vec{d})=2\vec{c}\cdot (\vec{b}\times \vec{d})
  6. Dati su vektori \vec{a}=3\vec{m}+2\vec{n}-\vec{p} i \vec{b}=\vec{m}-2\vec{n}+2\vec{p} gde je \left | \vec{m} \right |=2, \left | \vec{n} \right |=3,\sphericalangle (\vec{m},\vec{n})=\sphericalangle (\vec{n},\vec{p})=\sphericalangle (\vec{m},\vec{p})=\frac{\pi }{2}. Nađi \vec{}, \vec{} i površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima \vec{a} i \vec{b}.
  7. Vektori   \overrightarrow{AB}=(3,-2,2),  i    \overrightarrow{BC}=(-1,0,-2)  pripadaju dvema susednim stranicama paralelograma. Odredi ugao između dijagonala AB i CD.
  8. Da li tačke    A(1,2,-1), B(0,1,5), C(-1,2,1), D(2,1,3)   pripadaju jednoj ravni?
  9. Odredi realan broj p tako da vektor  \vec{a}=2p\vec{i}+\vec{j}+(1-p)\vec{k}   gradi jednake uglove sa vektorima   \vec{b}=-\vec{i}+3\vec{j} \text{ i } \vec{c}=5\vec{i}-\vec{j}+8\vec{k}.
  10. Odredi vektor  \vec{v},  ako je  \vec{v}\cdot \vec{a}=1, \vec{v}\cdot \vec{b}=2, \vec{v}\cdot \vec{c}=3 i ako su vektori  \vec{a},\vec{b},\vec{c}  dati koordinatama: \vec{a}=(2,-4,3),\vec{b}=(3,-1,5),\vec{c}=(1,-2,4).
  11. Izračunaj površinu trougla čija su temena   A(1,1,1), B(2,2,2) C(4,3,5).
  12. Tačke  A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6), D(2,3,8)   su temena piramide. Odredi zapreminu piramide i visinu koja odgovara ravni osnove  \bigtriangleup ABC.

Rešenja zadataka 7-12

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s