Nizovi

Matematička indukcija

  1. Matematičkom indukcijom dokazati da je broj 5^n(5^n+1)-6^n(3^n+2^n) deljiv sa 13 za sve prirodne brojeve n.
  2. Dokaži da je broj 2^{2^n}-4 deljiv sa 12, za sve prirodne brojeve n.

Aritmetički nizovi

  1. Zbir prvog, trećeg i petog člana aritmetičkog niza je 9, a četvrti član je dva puta veći od drugog. Odredi ovaj niz.
  2. a) Dokaži da je niz x_n=\frac{2^n\cdot n!}{n^n}, \; n\in \mathbb{N} monotono opadajući.
    b) Ispitaj monotonost niza x_n=\frac{2012^n}{n!}, \; n\in \mathbb{N} i odredi njegov najveći član.
  3. Zbir prvih 10, odnosno prvih 100 članova jednog aritmetičkog niza je 100, odnosno 10. Odredi zbir prvih 110 članova tog niza.
  4. Vrednosti izraza \log 2, \log (2^x-1),\log (2^x+3) su tri uzastopna člana aritmetičke progresije ako je x:
    a) \log_25;           b) \log_35;            c) \log 5;            d) \ln 5;            e) \log \frac{2}{5}.
  5. Zbir trećeg i sedmog člana monotono opadajuće aritmetičke progresije je 6, a njihov proizvod je 8. Zbir prvih dvanaest članova te progresije je:
    a) 18;          b) 27;           c) 13;           d) 20;            e) 30.
  6. Uglovi trougla čine aritmetiči niz. Ako je zbir wihovih sinusa jednak \frac{3+\sqrt{3}}{2} tada je najmanji ugao u tom trouglu jednak:
    a) 15^{\circ};          b) 45^{\circ};         c) 30^{\circ};         d) 60^{\circ};         e) 18^{\circ}.

Rešenja zadataka 4-6

Geometrijski nizovi

  1. Dokaži da je niz a_n=2^1+2^{\frac{1}{2}}+2^{\frac{1}{3}}+\cdots +2^{\frac{1}{n}}-n, \; \; n\in \mathbb{N} monotono rastući.
  2. Brojevi a_1,a_2,a_3 su tri uzastopna člana geometrijske progresije s količnikom  q=2, a brojevi  a_2,a_3,a_4 su tri uzastopna člana aritmetičke progresije s razlikom  d=4. Zbir  a_1+a_2+a_3+a_4 jednak je:
    a) 20;          b) 22;         c) 24;         d) 26;         e) 27.
  3. Prva dva člana geometrijske progresije su 2 i \sqrt[3]{2}. Četvrti član jednak je:
    a) 1;          b) \sqrt{2};         c) \frac{1}{2};         d) \sqrt[4]{2};         e) 2.

Rešenja zadataka 2-3

Granična vrednost niza

  1. Izračunaj:
    a) \lim \limits_{n \to +\infty }\left ( \frac{n+3}{n-3}+\frac{n-3}{n+3}-2\right )\cdot \frac{n^3-27}{5n-15}
    b) \lim \limits_{n \to +\infty }\frac{1\cdot 1!+2\cdot 2!+\cdots +n\cdot n!}{(n+1)!}
  2. Izračunaj:
    a) \lim \limits_{n \to +\infty }\left ( \frac{1+2+3+\cdots +n}{3n+1} -\frac{n+1}{6}\right )
    b) \lim \limits_{n \to +\infty }\frac{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\cdots +(-1)^n\cdot \frac{1}{3^n}}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^n}}

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s