Stereometrija

Površine i zapremine rogljastih tela

  1. Pravilna četvorostrana zarubljena piramida osnovnih ivica 12 i 8 i bočne ivice 20 presečena je jednom ravni koja sadrži teme gornje osnove i normalna je na ravni osnova. Izračunaj površinu manjeg dela piramide koji je nastao ovim presecanjem.
  2. U pravilnoj četvorostranoj piramidi odstojanje centra osnove od bočne ivice je d, a nagibni ugao bočne strane je \varphi. Odredi osnovnu ivicu piramide.
  3. Osnova kose prizme je jednakostranični trougao stranice a. Jedna bočna strana prizme je normalna na ravan osnove i ima oblik romba sa kraćom dijagonalom d. Odredi zapreminu te prizme.
  4. Površine osnova zarubljene piramide su P_1 i P_2, (P_1<P_2), a njena zapremina je V. Odredi zapreminu odgovarajuće nezarubljene piramide.
  5. Osnova piramide je paralelogram stranica 9cm i 10cm čija je dijagonala 11cm. Naspramne bočne ivice su jednake, a duže od njih su 10,5cm. Izračunaj zapreminu te piramide.
  6. Neka su M i N središta ivica AC i BC, respektivno, pravilne trostrane prizme ABCA_1B_1C_1 osnovne ivice a. Ako je ugao pod kojim se seku dijagonale trapeza A_1B_1NM jednak \alpha, odredi visinu prizme.
  7. Izračunaj zapreminu pravilne trostrane zarubljene piramide kod koje su dužine osnovnih ivica 3cm i 2cm, a površina omotača je jednaka zbiru površina osnova.
  8. Neka je S vrh trostrane piramide SABC takve da je SA=SB=SC=a, \measuredangle ASB=60^{\circ}, \measuredangle ASC=90^{\circ}, \measuredangle BSC=120^{\circ}.
    a) Dokaži da je \triangle ABC pravougli.
    b) Odredi površinu piramide SABC.
  9. Osnova prave prizme je romb, a njena visina je H. Ako dijagonale grade sa osnovama uglove \alpha i \beta, odredi površinu omotača i zapreminu prizme.
  10. Osnova prave piramide je kvadrat čija je stranica dužine 4, a bočne strane su joj jednakostranični trouglovi. Zapremina te piramide je:
    a) \frac{32}{3};          b) \frac{16}{3};         c) 8\sqrt{3};         d) 9\sqrt{3};         e) \frac{32\sqrt{3}}{3}.
  11. Osnova trostrane piramide je trougao stranica 6,8 i 10. Nagibni uglovi svih bočnih strana prema ravni osnove su 60^{\circ}. Površina te piramide je:
    a) 50;          b) 45;         c) 72;         d) 95;         e) 46.
  12. Osnova trostrane piramide je trougao stranica 6,8 i 10. Sve bočne ivice su 13. Zapremina te piramide je:
    a) 96;          b) 90;        c) 100;        d) 95;        e) 92.
  13. Ravni jednakokrakih pravouglih trouglova ABD i ABC su međusobno normalne. Ako je zajednička hipotenuza ova dva trougla AB=2a\sqrt{2}, onda je površina piramide ABCD:
    a) 8a^2;          b) 4a^2\sqrt{2};         c) a^2(4+3\sqrt{2});         d) 2a^2(2+\sqrt{3});         e) a^2\sqrt{2}(2+\sqrt{3}).
  14. Osnova trostrane piramide je jednakostranični trougao stranice a, a ortogonalna projekcija vrha te piramide na ravan osnove je težište tog trougla. Ako bočne strane grade sa ravni osnove uglove od po 60^{\circ}, onda je zapremina piramide:
    a) \frac{a^3\sqrt{3}}{24};          b) \frac{a^3\sqrt{3}}{2};         c) \frac{3a^3\sqrt{3}}{4};         d) \frac{3a^3\sqrt{3}}{2};         e) \frac{a^3(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4}.
  15. Osnova trostrane piramide je jednakostranični trougao stranice a, a ortogonalna projekcija vrha te piramide na ravan osnove je težište tog trougla. Ako bočne strane grade sa ravni osnove uglove od po 60^{\circ}, onda je površina piramide:
    a) \frac{3a^2\sqrt{3}}{8};          b) \frac{a^2\sqrt{3}}{2};         c) \frac{3a^2\sqrt{3}}{4};         d) \frac{3a^2\sqrt{3}}{2};         e) \frac{a^2(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{4}.
  16. Površina i zapremina pravilne šestostrane prizme upisane u valjak poluprečnika osnove r=2 i visine H=3 je:
    a) 21\sqrt{3};          b) 8\sqrt{3};        c) 12\sqrt{3};        d) 9\sqrt{3};        e) 18\sqrt{3}.
  17. Dužina dijagonale kvadra je \sqrt{29}, a dužine dijagonala njegovih bočnih strana su 5 i \sqrt{13}. Zapremina tog kvadra je:
    a) 28;          b) 30;         c) 24;         d) 20;         e) 20\sqrt{2}.
  18. Ivice paralelepipeda su a, b, c. Ivice a i b su uzajamno normalne, a ivica c obrazuje sa svakom od njih ugao od 60°. Izračunati zapreminu paralelepipeda.
  19. Osnova piramide je trougao stranica \sqrt{5}cm,\sqrt{10}cm i \sqrt{13}cm. Izračunati zapreminu piramide ako je njena visina 12cm.
  20. Izračunati zapreminu pravilnog oktaedra u funkciji osnovne ivice a.
  21. Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji osnovne ivice a.

Rešenja zadataka 10-21

Površine i zapremine obrtnih tela

  1. Neka su P_1 i P_2 površine, a V_1 i V_2 zapremine neke jednakostranične kupe i lopte upisane u tu kupu. Odredi:
    a) P_2:P_1;b) V_2:V_1.
  2. Izvodnica date kupe je 13cm, a visina 12cm. Kupu seče prava paralelna osnovi na rastojanju 6cm od osnove i 2cm od visine kupe. Nađi dužinu odsečka ove prave unutar kupe.
  3. Nagibni ugao izvodnice kupe prema ravni osnove je 30^{\circ}, a površina omotača 3\pi \sqrt{3}. Izračunaj zapreminu pravilne šestostrane piramide upisane u tu kupu.
  4. U loptu poluprečnika R upisana je prava kupa visine \frac{3}{2}R. Na kojoj udaljenosti od vrha treba konstruisati ravan paralelnu osnovi kupe tako da razlika između površine preseka lopte i površine preseka kupe bude jednaka a^2\pi ?
  5. Duža osnovica jednakokrakog trapeza je a, a oštar ugao \alpha. Dijagonala trapeza normalna je na krak. Trapez rotira oko duže osnovice. Nađi zapreminu dobijenog tela.
  6. Ravan, paralelna osi valjka, deli krug u osnovi u odnosu m:n. Površina preseka te ravni i valjka je P. Odredi površinu omotača valjka.
  7. Oko lopte je opisan prav paralelopiped čije su dijagonale osnove d_1 i d_2. Odredi površinu tog paralelopipeda.
  8. Tangentni trapez osnovica a=18 i b=8 rotira oko prave koja sadrži teme duže osnovice i normalna je na nju. Izračunaj površinu i zapreminu dobijenog tela.
  9. Ako za poluprečnike osnova r i R i izvodnicu s zarubljene kupe važi \frac{r}{4}=\frac{R}{11}=\frac{s}{25} i zapremina te kupe je 181\pi cm^3, odredi visinu te kupe.
  10. U pravu strostranu prizmu osnovnih ivica 13cm,14cm i 15cm upisana je lopta. Odredi odnos zapremina lopte i prizme.
  11. Ako je površina kupe 200\pi cm^2, a izvodnica dužine 17cm, odredi zapreminu te kupe.
  12. U pravilnu trostranu prizmu upisana je lopta. Naći odnos površina lopte i prizme.
  13. Duž AB je prečnik polukruga sa centrom u tački O. Unutar tog polukruga konstruisani su polukrugovi nad prečnicima AO i OB. Naći površinu i zapreminu tela koje nastaje obrtanjem površi između ta tri polukruga, oko prečnika AB, ako je AB = 20cm.
  14. Tačkasti izvor svetlosti udaljen je 4m od centra lopte poluprečnika 2 m. Kolika je površina osvetljenog dela lopte?
  15. U poluloptu je upisana prava kružna kupa čiji je poluprečnik osnove jednak visini. Koji je deo zapremina kupe od zapremine polulopte?
  16. Ravan sadrži središte poluprečnika lopte i normalna je na taj poluprečnik. U kom odnosu su površina tako dobijenog preseka i površina velikog kruga lopte?
  17. Ako se poluprečnik sfere poveća za 1cm, njena površina se poveća za 8\pi cm^2. Za koliko se poveća zapremina sfere?
  18. Metalnu šuplju loptu čiji je spoljašnji prečnik 2r = 18 cm, a debljina d = 2cm treba pretopiti u kuglu. Nađi njen prečnik.
  19. Na kojoj udaljenosti od centra neprozirne lopte poluprečnika 4 cm treba postaviti sijalicu da bi ona osvetlila \frac{1}{3} površine lopte?
  20. Izvodnica prave zarubljene kupe je s=5, a poluprečnici osnova su r=5 i r_1=2. U kupu je upisana pravilna četvorostrana zarubljena piramida tako da je donja osnova piramide upisana u donju osnovu kupe, a gornja osnova piramide upisana u gornju osnovu kupe.
    1) Zapremina zarubljene četvorostrane piramide je:
    a) 100;           b) 104;          c) 26;          d) 52\pi;          e) 33\pi.
    2) Zapremina zarubljene kupe je:
    a) 100;           b) 104;          c) 26;          d) 52\pi;          e) 33\pi.
  21. Na ravan sto postavljene su tri lopte različitih poluprečnika. One dodiruju sto u tačkama  A_1, A_2 i A_3  i svake dve se međusobno dodiruju. Ako su stranice trougla A_1A_2A_3 jednake A_1A_2=4, A_2A_3=6 i A_1A_3=8, onda je proizvod dužina poluprečnika te tri lopte jednak:
    a) 20;          b) 18;        c) 22;        d) 24\sqrt{2};        e) 24.
  22. Razvijeni omotač prave kupe je kružni isečak površine M=27\pi , sa centralnim uglom \alpha =120^{\circ}. Zapremina te kupe je:
    a) 6\pi ;          b) 9\pi \sqrt{2};         c) 10\pi;         d) 18\pi \sqrt{2};         e) 9\pi.
  23. Sfera poluprečnika r_1 upisana je u kocku ivice a=1, a sfera poluprečnika r_2 opisana je oko te kocke.
    1) Zbir površina tih sfera je:
    a) \frac{8\pi }{3};          b) 4\pi \sqrt{5};         c) 3\pi ;         d) 4\pi ;         e) 8\pi .
    2) Zbir zapremina tih sfera je:
    a) \frac{8\pi \sqrt{3}}{3};         b) 4\pi \sqrt{5};         c) 3\pi \sqrt{3};         d) 4\pi \sqrt{3};         e) \frac{(1+3\sqrt{3})\pi }{6}.
  24. Površina pravog valjka je 20\pi , a visina mu je za 1 kraća od prečnika osnove. Zapremina valjka je:
    a) 8\pi;          b) 12\pi;        c) 3\pi;        d) 5\pi;        e) 10\pi.
  25. Stranice pravougaonika su 20cm i 15cm. Izračunati površinu tela koje nastaje pri rotaciji pravougaonika oko jedne svoje dijagonale.
  26. Stranice trougla su a=10cm, b=17cm i c=21cm. Izračunati zapremine tela koja nastaju kada dati trougao rotira oko svake stranice.

Rešenja zadataka 20-26

Оставите одговор

Попуните детаље испод или притисните на иконицу да бисте се пријавили:

WordPress.com лого

Коментаришет користећи свој WordPress.com налог. Одјавите се /  Промени )

Google photo

Коментаришет користећи свој Google налог. Одјавите се /  Промени )

Слика на Твитеру

Коментаришет користећи свој Twitter налог. Одјавите се /  Промени )

Фејсбукова фотографија

Коментаришет користећи свој Facebook налог. Одјавите се /  Промени )

Повезивање са %s