Izvod funkcije

Odredi tačke u kojima tangente grafika funkcije $f(x)=\frac{x+1}{x-3}$ grade sa osom $Ox$ ugao od $\frac{3\pi }{4}$ .
Dokazati da za funkciju $f(x)=\arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$ važi $f'(x)>0$ .
Normandijski prozor

Normandijski prozor ima oblik kao na slici. Obim prozora je $6m$ . Kolika treba da je dužina stranice pravougaonika, koja je i prečnik kružnog dela, da bi prozor propuštao maksimalnu količinu svetlosti?
Odredi koeficijent $n$ tako da prava $y=x+n$ bude tangenta grafika funkcije $y=\frac{x-2}{x+2}$ .
Dokaži da za funkciju $f(x)=\ln \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}-2\arctan \sqrt{\frac{x-1}{x+1}};\; (x>1)$ važi $f'(x)>0$ .
Odredi dimenzije kutije bez poklopca sa kvadratnom osnovom i zapreminom $V$ tako da bi se za njenu izradu potrošila minimalna količina materijala.
Nađi realan broj $\lambda$ tako da se krive $y=e^x$ i $y=\lambda x^2$ dodiruju.
Odredi tačku na grafiku funkcije $y=x-\ln (1-x)$ u kojoj je tangenta paralelna pravoj koja sadrži tačke $A=(2,3)$ i $B=(-1,4)$ .
Odredi izvod funkcije $y=\sqrt[4]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{5}{x^3}-\frac{1}{2x^2}$ .
Ako je $f(x)=\frac{\tan x}{1-\tan x}$ naći $f'(\frac{\pi }{6})$ .
Odredi prvi izvod funkcije $y=\sqrt[3]{x}-5\sqrt[5]{x}-\frac{1}{2x^4}-\frac{1}{x^6}$ .
Ako je $f(x)=\frac{1-\sin x}{1+\cos x}$ odredi $f'(\frac{\pi }{4})$ .
Data je funkcija $f(x)=e^{x} \sin x$ . Dokazati da je $f''(x)-2f'(x)+2f(x)=0$ .
Odredi prvi izvod funkcije $y=\arctan\frac{1+x}{1-x}$ .
Zapremina otvorenog rezervoara sa kvadratnim dnom je $256m^3$ . Odredi stranicu osnove i dubinu rezerevoara tako da se za oblaganje zidova i dna utroši najmanje pločica.
Visina kupe najmanje zapremine opisane oko lopte poluprečnika $R$ je:
a) $R$ ; b) $\frac{1}{2}R$ ; c) $4R$ ; d) $R$ ; e) $3R$ .
Maksimalna zapremina kupe date izvodnice $s$ je:
a) $\frac{27\pi s^3\sqrt{3}}{27}$ ; b) $\frac{\pi s^3}{9}$ ; c) $\frac{2\pi s^3}{27}$ ; d) $\frac{4\pi s^3}{27}$ ; e) $\frac{2\pi s^3}{3\sqrt{3}}$ .
U loptu poluprečnika $R$ upisan je valjak maksimalne površine omotača. Tada je ta površina omotača jednaka: a) $R^2\pi$ ; b) $\frac{R^2}{2}\pi$ ; c) $4R^2\pi$ ; d) $2R^2\pi$ ; e) $3R^2\pi$ .
Kroz tačku $A=(1,4)$ postaviti pravu tako da zbir odsečaka koje prava određuje na pozitivnim delovima koordinatnih osa bude najmanji. Taj zbir je jednak:
a) $6$ ; b) $9$ ; c) $7$ ; d) $10$ ; e) $8$ .
U polukrug prečnika $10cm$ treba upisati trapez kome je duža osnovica prečnik polukruga tako da mu obim bude maksimalan. Tada je taj obim jednak:
a) $20$ ; b) $30$ ; c) $50$ ; d) $25$ ; e) $12,5$ .
U pravu kupu visine $H$ i poluprečnika osnove $R$ upisan je valjak maksimalne površine omotača. Tada su poluprečnik osnove i visina tog valjka jednaki:
a) $h=\frac{H}{3},r=\frac{R}{3}$ ; b) $h=\frac{\sqrt{3}}{2}H,r=\frac{R}{2}$ ; c) $h=\frac{H}{2},r=\frac{R}{2}$ ; d) $h=\frac{\sqrt{3}}{2}H,r=\frac{\sqrt{3}}{2}R$ ; e) $h=\frac{2}{3}H,r=\frac{R}{2}$ .
Razlika najveće i najmanje vrednosti funkcije $f(x)=x^3-3x^2+3x+2$ na intervalu $[-1,2]$ iznosi:
a) $9$ ; b) $10$ ; c) $12$ ; d) $8$ ; e) $3$ .
Ako funkcija $f(x)=x^3+ax^2+x+2$ ima ekstremnu vrednost za $x=-1$ tada je $a$ jednako:
a) $2$ ; b) $-2$ ; c) $1$ ; d) $0$ ; e) $\frac{1}{2}$ .
Razlika najveće i najmanje vrednosti funkcije $f(x)=x^2-4x+7$ na intervalu $[-1,4]$ iznosi:
a) $4$ ; b) $6$ ; c) $7$ ; d) $9$ ; e) $5$ .
Minimalna vrednost funkcije $f(x)=x^4-4x^2+8$ , je:
a) $2$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) $4$ ; d) $v$ ; e) $-\sqrt{2}$ .
Minimalna vrednost funkcije $f(x)=\sin x-\cos ^2x-1$ je:
a) $\frac{1}{4}$ ; b) $\frac{-2\sqrt{3}-5}{4}$ ; c) $-\frac{1}{4}$ ; d) $-\frac{9}{4}$ ; e) $-2$ .
Odredi intervale monotonosti za funkciju: $f(x)=\frac{1-x}{x}$ .
Odredi intervale monotonosti za funkciju: $f(x)=-\frac{1}{x}$ .
Odredi intervale monotonosti za funkciju: $f(x)=-(x-2)^3$ .
Odredi intervale monotonosti za funkciju: $f(x)=-x^2+2x+3$ .
Ispitati monotonost i odrediti ekstremne vrednosti funkcije $y=\frac{x^{2}-2x+1}{x^{2}+1}$ .